Прошу оценить правильность решения, заранее благодарен!
Найдите все `a`, при которых уравнение `a(2log_7 (|x| + 7) - a - 6)sqrt(log_7 (|x| + 7) - a - 2) = 0` имеет ровно 2 различных корня.
Заметим, что если `x_0` является корнем, то `- x_0` также является корнем. Тогда, если `x = 0` является корнем исходного уравнения, то общее количество корней будет нечетно, что не удовлетворяет условию задачи. Найдем, при каких `a` корнем является `x = 0`, подставив это значение вместо `x` в исходное уравнение:
`a(-a - 4)sqrt(-a - 1) = 0.
Имеем: `a = -4` или `a = -1`.
Заметим также, что при `a = 0` исходное уравнение имеет бесконечное множество корней, удовлетворяющих ОДЗ, что не соответствует условию задачи.
Далее сделаем замену `log_7 (|x| + 7) = t > 1`, тогда при `a != 0` получим:
`(2t - a - 6)sqrt(t - a - 2) = 0`.
Переформулируем теперь задачу. Найдем такие `a (a != -4; a != -1; a != 0)`, при которых последнее уравнение имеет единственный корень `t`, удовлетворяющий условиям `t >1` и `t >= a + 2`.
Далее изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют последнему уравнению и указанным условиям, в системе координат, как показано на рисунке.
Легко видеть, что горизонтальная прямая `a = m` имеет с этим множеством единственную общую точку при `-4 < m <=-1` и `m >=2`. То есть, последнее уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий указанным выше условиям, при `-4 < a <=-1` и `a >=2`.
С учетом того, что `a != -1`, получим окончательный ответ: `a in (-4; -1) uu [2; +oo)`.