Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение с параметром
 Сообщение Добавлено: 17 апр 2017, 14:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 мар 2017, 00:02
Сообщений: 40
Прошу оценить правильность решения, заранее благодарен!

Найдите все `a`, при которых уравнение `a(2log_7 (|x| + 7) - a - 6)sqrt(log_7 (|x| + 7) - a - 2) = 0` имеет ровно 2 различных корня.

Заметим, что если `x_0` является корнем, то `- x_0` также является корнем. Тогда, если `x = 0` является корнем исходного уравнения, то общее количество корней будет нечетно, что не удовлетворяет условию задачи. Найдем, при каких `a` корнем является `x = 0`, подставив это значение вместо `x` в исходное уравнение:

`a(-a - 4)sqrt(-a - 1) = 0.

Имеем: `a = -4` или `a = -1`.

Заметим также, что при `a = 0` исходное уравнение имеет бесконечное множество корней, удовлетворяющих ОДЗ, что не соответствует условию задачи.

Далее сделаем замену `log_7 (|x| + 7) = t > 1`, тогда при `a != 0` получим:

`(2t - a - 6)sqrt(t - a - 2) = 0`.

Переформулируем теперь задачу. Найдем такие `a (a != -4; a != -1; a != 0)`, при которых последнее уравнение имеет единственный корень `t`, удовлетворяющий условиям `t >1` и `t >= a + 2`.

Далее изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют последнему уравнению и указанным условиям, в системе координат, как показано на рисунке.
Изображение
Легко видеть, что горизонтальная прямая `a = m` имеет с этим множеством единственную общую точку при `-4 < m <=-1` и `m >=2`. То есть, последнее уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий указанным выше условиям, при `-4 < a <=-1` и `a >=2`.

С учетом того, что `a != -1`, получим окончательный ответ: `a in (-4; -1) uu [2; +oo)`.


Последний раз редактировалось math-study 17 апр 2017, 14:58, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с параметром
 Сообщение Добавлено: 17 апр 2017, 14:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6787
Откуда: Москва
1. Ответ - правильный.

2. Решение этого примера без опечатки в условии - ТЫЦ.
Подробности:

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с параметром
 Сообщение Добавлено: 17 апр 2017, 14:56 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 мар 2017, 00:02
Сообщений: 40
OlG писал(а):
1. Ответ - правильный.

2. Решение этого примера без опечатки в условии


1. Благодарю!

2. В точности такое условие было на недавнем мастер-классе одного известного репетитора. Но там значение `a = -1` было включено в ответ. Поэтому возникли сомнения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение с параметром
 Сообщение Добавлено: 17 апр 2017, 15:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6787
Откуда: Москва
3. Подстановкой `a=-1` в уравнение легко убедится, что при этом
значении параметра уравнение имеет три различных корня.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: