МГУ.Мех.мат 2002. Найти максимально возможный объём треугольной пирамиды при условии, что две её грани — равные треугольники со сторонами 5, 6 и 7.
Не могли бы вы подсказать, если ли простое и короткое решение этой задачи? Мое решение получилось длинное(на экзамене просто бы времени не хватило). Рассматривал 2 тетраэда: 1) с общим ребром `a`и с двумя равнобедренными гранями(у первой грани боковое ребро `b`, у второго боковое ребро `c`). 2) с общим ребром `a` и равными противоположными ребрами `b` и `c`, примыкающих к ребру `a`. Удивительно, что в обоих случаях получилась оценка `V<=1/24a(4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2)` Ответ получился `144/5`
Последний раз редактировалось Andreymath 08 июн 2018, 20:49, всего редактировалось 1 раз.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
Подробности:
Andreymath писал(а):
МГУ.Мех.мат 2002. Найти максимально возможный объём треугольной пирамиды при условии, что две её грани — равные треугольники со сторонами 5, 6 и 7.
Не могли бы вы подсказать, если ли простое и короткое решение этой задачи? Мое решение получилось длинное(на экзамене просто бы времени не хватило). Рассматривал 2 тетраэда: 1) с общим ребром `a`и с двумя равнобедренными гранями(у первой грани боковое ребро `b`, у второго боковое ребро `c`). 2) с общим ребром `a` и равными противоположными ребрами `b` и `c`, примыкающих к ребру `a`. Удивительно, что в обоих случаях получилась оценка `V<=1/24a(4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2)` Ответ получился `144/5`
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
Подробности:
Andreymath писал(а):
А как доказать не прибегая к перебору(как сделал я), что именно эта конструкция имеет наибольший объем из 12-ти возможных? Я не понимаю
46. Перебор в этой задаче не нужен:
а) Основание пирамиды - треугольник со сторонами 5, 6 и 7.
б) Одна из боковых граней - треугольник со сторонами 5, 6 и 7.
в) Длина высоты пирамиды - длина одной из высот боковой грани со сторонами 5, 6 и 7, умноженная на синус угла этой боковой грани и основания.
г) Длина высоты пирамиды принимает наибольшее значение, если выбирается наибольшая высота боковой грани со сторонами 5, 6 и 7, т.е. высота на сторону длиной 5 (в этом случае общая сторона основания со сторонами 5, 6 и 7 и боковой грани со сторонами 5, 6 и 7 - сторона длиной 5), и если синус упомянутого угла равен наибольшему значению, т.е. `quad SBC perp ABC.`
д) В рассмотренном случае длина высоты пирамиды равна длине высоты треугольника со сторонами 5, 6 и 7 на сторону длиной 5 .
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
47. Найдите наибольшее значение объёма пирамиды `SABC` при следующих ограничениях `SA ge 8, quad SB le 9, quad SC =5, quad AB ge 7, quad BC le 6, quad AC le 4.`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения