Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 5 из 12 [ Сообщений: 118 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2017, 17:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 июл 2017, 17:19
Сообщений: 5
OlG писал(а):
Подробности:
mathsislove писал(а):
Здравствуйте!
Не могли бы подсказать, пожалуйста, как действовать в задаче №7 варианта ф21?
Я дошёл до того, что `x=(24+5n)/(5-3n)`, а дальше пытался подставить различные целые `n`, но так придётся делать до бесконечности...

16. `3x=-5-(97)/(3n-5) quad iff quad (3x+5)(3n-5)=-97; quad x, quad n in ZZ.`

а можете объяснить, как дальше делать? просто угадывать значения?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2017, 17:28 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4864
Откуда: Москва
kristinachristina писал(а):
OlG писал(а):
Подробности:
mathsislove писал(а):
Здравствуйте!
Не могли бы подсказать, пожалуйста, как действовать в задаче №7 варианта ф21?
Я дошёл до того, что `x=(24+5n)/(5-3n)`, а дальше пытался подставить различные целые `n`, но так придётся делать до бесконечности...

16. `3x=-5-(97)/(3n-5) quad iff quad (3x+5)(3n-5)=-97; quad x, quad n in ZZ.`

а можете объяснить, как дальше делать? просто угадывать значения?

21. `(3x+5)(3n-5)=97*(-1)=-1*97=-97*1=1*(-97) quad iff quad`

`quad iff quad {(quad x; quad n in ZZ),([({(3x+5=97),(3n-5=-1):}),({(3x+5=-1),(3n-5=97):}),({(3x+5=-97),(3n-5=1):}),({(3x+5=1),(3n-5=-97):}):}):} quad iff quad {(quad x; quad n in ZZ),([({(x=92/3),(n=4/3):}),({(x=-2),(n=34):}),({(x=-34),(n=2):}),({(x=-4/3),(n=-92/3):}):}):} quad => quad [(x = -2),(x = -34):}`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 12 июл 2017, 18:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2015, 18:58
Сообщений: 630
OlG писал(а):
Подробности:
ar54 писал(а):
Математики, а какие еще подходы существуют?

18. Второе уравнение разложить на множители:

`(3x-y-5)(x+2y-4)=0.`
Спасибо, уважаемый OlG!

Попробовал упростить уравнения:
Рассмотрел переход к новым переменным за счет сдвига начала СК: `u=x-a; qquad v=y-b`, где `a,\ b` выбираем из условия исчезновения линейных членов по каждой новой переменной. Применил к 1-му уравнению. Оказалось, что `a=2,\ b=1`, а 1-е уравнение становится однородным:
`10 u^2+5 v^2-2uv=0`.
Как видно, оно имеет единственное решение `(u,v)=(0,0)`.Т.о. решение 1-го уравнения есть `(x,y)=(a,b)=(2,1)`.
Далее проверяется, что это же решение удовлетворяет и 2-му уравнению исходной системы уравнений.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2017, 18:43 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
(ВМК-93.6)
1)Рассмотрел функцию `f(x)=(sin x)^3+(cos x)^3`.С помощью производной нетрудно было найти область значения функции.`E(f) in [-1;1]`.Значит при остальных значениях параметра знаменатель первого слагаемого не обращается в нуль.Уже можно добавить `(-infty;-1) u(1;+infty)` к ответу,поскольку знаменатель второго слагаемого второй функции равен знаменателю выражения в первой функции.
2)Но при некотором значении параметра из отрезка `[-1;1]`может случиться так,что знаменатели слагаемых второй функции будут обращаться в нуль при одинаковых иксах...и найти такие значения,если они существуют,трудно,как мне кажется....или я что-то путаю?


Вложения:
image.jpg
image.jpg [ 1.53 MIB | Просмотров: 5332 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2017, 19:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4864
Откуда: Москва
Подробности:
nnuttertools писал(а):
(ВМК-93.6)
1)Рассмотрел функцию `f(x)=(sin x)^3+(cos x)^3`.С помощью производной нетрудно было найти область значения функции.`E(f) in [-1;1]`.Значит при остальных значениях параметра знаменатель первого слагаемого не обращается в нуль.Уже можно добавить `(-infty;-1) u(1;+infty)` к ответу,поскольку знаменатель второго слагаемого второй функции равен знаменателю выражения в первой функции.
2)Но при некотором значении параметра из отрезка `[-1;1]`может случиться так,что знаменатели слагаемых второй функции будут обращаться в нуль при одинаковых иксах...и найти такие значения,если они существуют,трудно,как мне кажется....или я что-то путаю?
Изображение

22.

а) `f(x)=sin^3 x+cos^3 x, quad g(x)=3cosx-2cos^3x.`

б) `f(pi/2-x)=f(x) quad => quad g(x_0)=g(pi/2-x_0), quad x_0=pi/4+pin.`

в) `{(f(x_0)=((-1)^n)/(sqrt2)=a), ( g(x_0)=(-1)^n sqrt2=asqrt2):} quad iff quad a in emptyset.`

г) Остается случай 1).

Ответ: `(-infty;-1) cup (1;+infty).`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 13 июл 2017, 21:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
Благодарю)

Единственное,не дошло немного...допустим, система имела решение,к примеру, `a=(-1)^n`.То есть при данных значениях `a` в точках вида `x=pi/4+pin` функции `f(x)` и `g(x)` равны нулю(их периоды в данных точках равны).Но в некоторых других точках одна из функций может быть тоже будет равна нулю,а вторая нет.То есть у изначальных функций задачи `y_1(x)` и `y_2(x)` будут разные области определения.Или если бы система имела решения,то и тех "некоторых" точек бы не было?Может я не правильно рассуждаю,конечно...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 14 июл 2017, 00:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4864
Откуда: Москва
Подробности:
nnuttertools писал(а):
Благодарю)

Единственное,не дошло немного...допустим, система имела решение,к примеру, `a=(-1)^n`.То есть при данных значениях `a` в точках вида `x=pi/4+pin` функции `f(x)` и `g(x)` равны нулю(их периоды в данных точках равны).Но в некоторых других точках одна из функций может быть тоже будет равна нулю,а вторая нет.То есть у изначальных функций задачи `y_1(x)` и `y_2(x)` будут разные области определения.Или если бы система имела решения,то и тех "некоторых" точек бы не было?Может я не правильно рассуждаю,конечно...

23. Не выполняется НЕОБХОДИМОЕ условие совпадения областей
определения исходных функций из условия задачи. Поэтому, НЕТ
необходимости проверять ДОСТАТОЧНОСТЬ совпадения этих областей
определения.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 14 июл 2017, 00:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 03 сен 2016, 12:04
Сообщений: 333
Откуда: Москва
Теперь все понял)
Спасибо :D


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 14 июл 2017, 12:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 117
Рассматривая график `f(x)`
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin+(x))%5E3%2B(cos(x))%5E3
, можно заметить, что уравнение `f(x)=a` на одном периоде функции будет иметь 0, 2, 3 или 4 корня в зависимости от значения `a`.

OlG, Ответьте, пожалуйста, что означают точки `x_0`?
Я поняла, что функция `f(x)` инвариантна относительно замены `x` на `\pi /2 -x`, но что с этим дальше делать?


Последний раз редактировалось radix 14 июл 2017, 16:43, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МГУ ДВИ 2017
 Сообщение Добавлено: 14 июл 2017, 16:39 
Не в сети

Зарегистрирован: 22 июн 2016, 18:58
Сообщений: 117
Единственно, что удалось мне выяснить (с подсказки Вольфрама), так это то, что
`f(x)=(g(x- \pi /4))/sqrt(2)`
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(3*cos(x)-2*(cos(x))%5E3)%2Fsqrt(2)%3D(sin(x))%5E3%2B(cos(x))%5E3
Но чтобы это заметить, по-моему, нужно быть ясновидящим!
Я много времени безуспешно потратила, чтобы доказать, что графики этих функций совпадают, а вот то, что они могут быть "сдвинуты" друг относительно друга по горизонтали - я не заметила.

Но даже зная это, я не знаю, как использовать этот факт в решении :(

Добавлено.
Поскольку тема уже разрослась и ушла в обсуждение прошедшего ДВИ, добавлю решение к этому сообщению.

В общем, предложу план моего решения. Сразу скажу, оно мне не очень нравится, не люблю решения из серии "заметим что..."

Задача сводится к следующей: нужно найти, при каких значениях параметра а множество решений уравнения
`(sin(x))^3+(cos(x))^3=a`
является подмножеством множества решений уравнения
`1/sqrt(2) (3cos(x)-2(cos(x))^3)=a`

Обозначим левую часть первого уравнения за f(x), а левую часть второго - за g(x).

Заметим, что `f(x+ \pi /4)=g(x)`, а также, что период обеих функций равен `2 \pi`.
Таким образом, получаем, что график `f(x)` получен из графика `g(x)` смещением вправо вдоль оси абсцисс на `\pi /4`.

Находим промежутки монотонности `f(x)`, смещаяя их, получаем промежутки монотонности `g(x)`

Далее, определяем, что множество значений функции `f(x)` это `[-1; 1]`.
Соответственно, при значениях параметра, не входящих в этот интервал, множество решений первого уравнения пустое, стало быть является подмножеством любого множества, и этот случай удовлетворяет условию задачи.


Затем, замечаем, что на промежутке `[- \pi /2 ; -\pi /4]` обе функции монотонно возрастают: `f(x)` от -1 до 0, а `g(x)` от 0 до 1.
Соответственно, при `-1<=a<=0` прямая `y=a` пересечёт график `f(x)` в какой-либо точке на интервале `[- \pi /2 ; -\pi /4]`, но не пересечёт график `g(x)`.
то есть при таких `a` первое уравнение будет иметь решение на этом интервале, а второе - нет.

Аналогично доказываем, что при `0<=a<=1` первое уравнение будет иметь корни, которых нет у второго уравнения. Для этого рассмотрим промежуток `[ \pi /2 ; 3\pi /4]`, на котором обе функции монотонно убывают.


Последний раз редактировалось radix 15 июл 2017, 22:14, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 5 из 12 [ Сообщений: 118 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.




Список форумов » Просмотр темы - МГУ ДВИ 2017


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: