Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ] На страницу 1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Параметр
 Сообщение Добавлено: 18 авг 2017, 20:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 03 авг 2017, 22:33
Сообщений: 58
Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни
Рассмотрел `a=0`, подходит
Если `a` не равно `0`, то через дискриминант получается какая-та жуть. Можете подсказать идеи?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 18 авг 2017, 22:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40
Сообщений: 1541
Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 авг 2017, 20:29 
Не в сети

Зарегистрирован: 03 авг 2017, 22:33
Сообщений: 58
lenaskor писал(а):
Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3

Спасибо


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 авг 2017, 22:00 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
lenaskor писал(а):
Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3


Вообще-то a не обязано быть целым :) Так что проверить нужно чуть больше вариантов.

Например `a=-1/2` приводит к целым корням.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 12:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 466
makaronik писал(а):
Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни

Чуть поинтересней было бы так: "найти все $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни, причем один из них целый".
Upd. Пытаюсь вспомнить, где я это уже видел ... Так вот где: viewtopic.php?f=4&t=6273


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 14:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
nnosipov писал(а):
makaronik писал(а):
Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни

Чуть поинтересней было бы так: "найти все $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни, причем один из них целый".
Upd. Пытаюсь вспомнить, где я это уже видел ... Так вот где: viewtopic.php?f=4&t=6273


А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи?
Или как подсказку?

UPD. Кстати в Вашем дежавю тоже приведено неправильное решение :(
Не Вами, конечно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 15:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 466
alex123 писал(а):
А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи?
Или как подсказку?

Как усложнение. Мне кажется (не вижу пока другого пути), что в таком случае все же придется решать, при каких целых $x$ число $x^4-24x+24$ будет точным квадратом (или какой-то эквивалент этого вопроса). В то время как в исходной формулировке работают только формулы Виета и перебор.

Насчет ошибки в чужом решении (которое в дежавю): возможно, я не вчитывался. Но вряд ли она принципиальная, ситуация-то простая.

Следующее возможное усложнение: "найти бесконечно много значений $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни".


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 17:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
nnosipov писал(а):
alex123 писал(а):
А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи?
Или как подсказку?

Как усложнение. Мне кажется (не вижу пока другого пути), что в таком случае все же придется решать, при каких целых $x$ число $x^4-24x+24$ будет точным квадратом (или какой-то эквивалент этого вопроса). В то время как в исходной формулировке работают только формулы Виета и перебор.

Насчет ошибки в чужом решении (которое в дежавю): возможно, я не вчитывался. Но вряд ли она принципиальная, ситуация-то простая.

Следующее возможное усложнение: "найти бесконечно много значений $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни".


"Точная квадратичность" многочлена 4-й степени также эффективно устанавливается перебором в небольшом диапазоне и вовсе без формул Виета. В чужом решении видимо сделали ошибку уже в переборе, что-то прозевав.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 17:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 466
alex123 писал(а):
"Точная квадратичность" многочлена 4-й степени также эффективно устанавливается перебором в небольшом диапазоне и вовсе без формул Виета.

Да, но только здесь доведение дела до перебора --- это вполне содержательная работа. Именно этот момент, на мой взгляд, и составляет усложнение. По поводу величины диапазона: если h --- высота многочлена 4-й степени f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d (будем для простоты считать его нормированным), то $|x|<26h^3$ Насколько эта оценка точна, вопрос интересный.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 21 авг 2017, 17:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
nnosipov писал(а):
то $|x|<26h^3$ Насколько эта оценка точна, вопрос интересный.


Не очень интересный, хотя бы потому, что ранее выписанный Вами многочлен 4-й степени показывает неточность этой оценки - диапазон намного уже.

Если точна в смысле "для всех многочленов" - тогда чуть интереснее.

Но вообще мы, наверное, слишком долго обсуждаем тривиальную неинтересную задачу :)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ] На страницу 1, 2, 3  След.




Список форумов » Просмотр темы - Параметр


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: