Автор |
Сообщение |
makaronik
|
Заголовок сообщения: Параметр Добавлено: 18 авг 2017, 20:46 |
|
Зарегистрирован: 03 авг 2017, 22:33 Сообщений: 58
|
Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни Рассмотрел `a=0`, подходит Если `a` не равно `0`, то через дискриминант получается какая-та жуть. Можете подсказать идеи?
|
|
|
|
|
|
|
lenaskor
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 18 авг 2017, 22:14 |
|
Зарегистрирован: 20 окт 2010, 23:40 Сообщений: 1541
|
Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3
|
|
|
|
|
makaronik
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 19 авг 2017, 20:29 |
|
Зарегистрирован: 03 авг 2017, 22:33 Сообщений: 58
|
lenaskor писал(а): Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3 Спасибо
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 19 авг 2017, 22:00 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
lenaskor писал(а): Раз рассмотрели частный случай, то далее сделайте из уравнения приведённое, и если корни целые...., то теорема Виета...., короче, останется проверить а +-1, +-3 Вообще-то a не обязано быть целым Так что проверить нужно чуть больше вариантов. Например `a=-1/2` приводит к целым корням.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 12:31 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
makaronik писал(а): Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни Чуть поинтересней было бы так: "найти все $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни, причем один из них целый". Upd. Пытаюсь вспомнить, где я это уже видел ... Так вот где: viewtopic.php?f=4&t=6273
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 14:26 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): makaronik писал(а): Найти `a`, при которых уравнение `ax^2+3x+2a^2-3=0` имеет только целые корни Чуть поинтересней было бы так: "найти все $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни, причем один из них целый". Upd. Пытаюсь вспомнить, где я это уже видел ... Так вот где: viewtopic.php?f=4&t=6273А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи? Или как подсказку? UPD. Кстати в Вашем дежавю тоже приведено неправильное решение Не Вами, конечно.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 15:09 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
alex123 писал(а): А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи? Или как подсказку? Как усложнение. Мне кажется (не вижу пока другого пути), что в таком случае все же придется решать, при каких целых $x$ число $x^4-24x+24$ будет точным квадратом (или какой-то эквивалент этого вопроса). В то время как в исходной формулировке работают только формулы Виета и перебор. Насчет ошибки в чужом решении (которое в дежавю): возможно, я не вчитывался. Но вряд ли она принципиальная, ситуация-то простая. Следующее возможное усложнение: "найти бесконечно много значений $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни".
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 17:07 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): alex123 писал(а): А Вы это задумывали как усложнение исходной задачи? Или как подсказку? Как усложнение. Мне кажется (не вижу пока другого пути), что в таком случае все же придется решать, при каких целых $x$ число $x^4-24x+24$ будет точным квадратом (или какой-то эквивалент этого вопроса). В то время как в исходной формулировке работают только формулы Виета и перебор. Насчет ошибки в чужом решении (которое в дежавю): возможно, я не вчитывался. Но вряд ли она принципиальная, ситуация-то простая. Следующее возможное усложнение: "найти бесконечно много значений $a$, при которых уравнение $ax^2+3x+2a^2-3=0$ имеет только рациональные корни". "Точная квадратичность" многочлена 4-й степени также эффективно устанавливается перебором в небольшом диапазоне и вовсе без формул Виета. В чужом решении видимо сделали ошибку уже в переборе, что-то прозевав.
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 17:47 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
alex123 писал(а): "Точная квадратичность" многочлена 4-й степени также эффективно устанавливается перебором в небольшом диапазоне и вовсе без формул Виета. Да, но только здесь доведение дела до перебора --- это вполне содержательная работа. Именно этот момент, на мой взгляд, и составляет усложнение. По поводу величины диапазона: если h --- высота многочлена 4-й степени f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d (будем для простоты считать его нормированным), то $|x|<26h^3$ Насколько эта оценка точна, вопрос интересный.
|
|
|
|
|
alex123
|
Заголовок сообщения: Re: Параметр Добавлено: 21 авг 2017, 17:55 |
|
Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13 Сообщений: 1940
|
nnosipov писал(а): то $|x|<26h^3$ Насколько эта оценка точна, вопрос интересный. Не очень интересный, хотя бы потому, что ранее выписанный Вами многочлен 4-й степени показывает неточность этой оценки - диапазон намного уже. Если точна в смысле "для всех многочленов" - тогда чуть интереснее. Но вообще мы, наверное, слишком долго обсуждаем тривиальную неинтересную задачу
|
|
|
|
|
|
|
|