3. Идея решения параллельной задачи от
OlG писал(а):
Решить систему (ответ плюс краткое решение или идея решения):
`{(y/x-xy=1),(z/y-4yz=2),(x/z-4zx=4):}`
С помощью легкого шаманства систему можно привести к виду:
`x/2=f(f(f(x/2))), f(t)=(2t)/(1-4*t^2)`
Но вот печалька - функция, хоть и возрастает, но имеет разрывы,
Значит ход `f(f(f(t)))=t -> f(t)=t` - не катит.
Усидчивый математик-кун может применить научный метод "морда кирпичом" (методистэ рекомендуэ) и продолбить уравнение "в лоб". Походу там будет уравнение, хотя и страшненькое, но приводимое к возвратному и решаемое.
Аднака, тригонометрия как всегда спешит на помощь:
`{(y=x/(1-x^2)),(z=(2y)/(1-4y^2)),(x/2=(2z)/(1-4z^2)):}`
`{(2y=(2x)/(1-x^2)),(2z=(2*2y)/(1-4y^2)),(x=(2*2z)/(1-4z^2)):}`
`x=tg(alpha); 2y=tg(2alpha); 2z=tg(4alpha); x=tg(8alpha); alpha in (-pi/2;pi/2)`
`tg(alpha)=tg(8alpha)`
Ну и так далее...
При замене `x=tgalpha` добавляется условие `-pi/2<alpha<pi/2`.
Ответ:
`(tgalpha;(1/2)tg2alpha;(1/2)tg4alpha)`, где `alpha=+-pi/7,+-(2pi)/7,+-(3pi)/7.`