Автор |
Сообщение |
kicul
|
Заголовок сообщения: Найти предел Добавлено: 17 окт 2017, 19:09 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2016, 12:39 Сообщений: 191
|
`lim_(x ->infty)(6x^2+5x-1)/(3x^2-x+1)=((6x^2)/x^2+(5x)/x^2-1/x^2)/((3x^2)/x^2-x/x^2+1/x^2)=(6+5/x-1/x^2)/(3-1/x+1/x^2)=2` В этом примере надо найти корни выражения или поделить на `x^2`? Спасибо.
|
|
|
|
|
|
|
epimkin
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 17 окт 2017, 19:25 |
|
Зарегистрирован: 16 янв 2013, 16:00 Сообщений: 1051
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 17 окт 2017, 22:46 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
epimkin писал(а): Все верно Хорошо бы добавить пределы в определенные места.
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
Webmex
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 16 дек 2018, 17:56 |
|
Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46 Сообщений: 30
|
Добрый день! Никак не могу решить следующий предел, подскажите пожалуйста, как его решить? (Ответ: 3/2)
Вложения: |
предел.jpg [ 8.08 KIB | Просмотров: 2692 ]
|
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 16 дек 2018, 21:16 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
Начните с замены `t=1/x`. Получите предел функции `\frac{1}{t}*(\sin(t)*\sqrt{1+t}-\sin(\frac{t}{t+1}))/\sin(\frac{t}{t+1})\sim (\sin(t)*\sqrt{1+t}-\sin(\frac{t}{t+1}))/t^2`. Далее учтите, что `\sqrt(1+t)=1+t/2+o(t)` при `t\to 0`. Преобразуя разность синусов в произведение, получите, что эта разность есть `t^2+o(t^2)` при `t\to 0`. Вывод: числитель есть `t^2+t^2/2+o(t^2)` при `t\to 0`.
|
|
|
|
|
Webmex
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 16 дек 2018, 22:57 |
|
Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46 Сообщений: 30
|
MathUser писал(а): Начните с замены `t=1/x`. Получите предел функции `\frac{1}{t}*(\sin(t)*\sqrt{1+t}-\sin(\frac{t}{t+1}))/\sin(\frac{t}{t+1})\sim (\sin(t)*\sqrt{1+t}-\sin(\frac{t}{t+1}))/t^2`. Далее учтите, что `\sqrt(1+t)=1+t/2+o(t)` при `t\to 0`. Преобразуя разность синусов в произведение, получите, что эта разность есть `t^2+o(t^2)` при `t\to 0`. Вывод: числитель есть `t^2+t^2/2+o(t^2)` при `t\to 0`. А не подскажете, что такое o(t^2), вот именно это "o" ?
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 17 дек 2018, 19:18 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
Webmex писал(а): А не подскажете, что такое o(t^2), вот именно это "o" ?
Предельное поведение функций можно сравнивать. Если `f(x)=h(x)g(x)` в некоторой проколотой окрестности точки `x_0`, то в случае `lim_{x\to x_o} h(x)=1`, говорят, что функции `f` и `g` эквивалентны при `x\to x_0` и пишут `f\sim g` при `x\to x_0` . Если же `lim_{x\to x_o} h(x)=0`, говорят, что функция `f` есть "о малое от `g` при `x\to x_0`" и пишут `f=o(g)` при `x\to x_0`. Можно доказать, что условие `f\sim g` при `x\to x_0` равносильно условию `f=g+o(g)` при `x\to x_0` . В частности, `\sin x\sim x` при `x\to 0` равносильно равенству `\sin x=x+o(x)` при `x\to 0`.
|
|
|
|
|
Webmex
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 20 дек 2018, 13:35 |
|
Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46 Сообщений: 30
|
MathUser писал(а): Webmex писал(а): А не подскажете, что такое o(t^2), вот именно это "o" ?
Предельное поведение функций можно сравнивать. Если `f(x)=h(x)g(x)` в некоторой проколотой окрестности точки `x_0`, то в случае `lim_{x\to x_o} h(x)=1`, говорят, что функции `f` и `g` эквивалентны при `x\to x_0` и пишут `f\sim g` при `x\to x_0` . Если же `lim_{x\to x_o} h(x)=0`, говорят, что функция `f` есть "о малое от `g` при `x\to x_0`" и пишут `f=o(g)` при `x\to x_0`. Можно доказать, что условие `f\sim g` при `x\to x_0` равносильно условию `f=g+o(g)` при `x\to x_0` . В частности, `\sin x\sim x` при `x\to 0` равносильно равенству `\sin x=x+o(x)` при `x\to 0`. Ох, я кажется понял о чём вы! То есть сделать замену и использовать эквивалентные б.м.ф. ?
|
|
|
|
|
MathUser
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 21 дек 2018, 10:20 |
|
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
|
Webmex писал(а): Ох, я кажется понял о чём вы! То есть сделать замену и использовать эквивалентные б.м.ф. ? Только учтите, что замена сомножителей на эквивалентные не меняет предела, а замена слагаемых очень часто искажает предел. Поэтому в числителе слагаемые заменяются на равные слагаемые, но записанные с добавками типа `o(t^2)`. Равные слагаемые, конечно, можно заменять на равные. Без использования `o(t^2)` предел может быть вычислен с помощью двукратного применения правила маркиза Лопиталя. После этого в знаменателе будет число `2` и можно просто подставить в числитель `t=0`.
|
|
|
|
|
Webmex
|
Заголовок сообщения: Re: Найти предел Добавлено: 21 дек 2018, 13:31 |
|
Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46 Сообщений: 30
|
MathUser писал(а): Webmex писал(а): Ох, я кажется понял о чём вы! То есть сделать замену и использовать эквивалентные б.м.ф. ? Только учтите, что замена сомножителей на эквивалентные не меняет предела, а замена слагаемых очень часто искажает предел. Поэтому в числителе слагаемые заменяются на равные слагаемые, но записанные с добавками типа `o(t^2)`. Равные слагаемые, конечно, можно заменять на равные. Без использования `o(t^2)` предел может быть вычислен с помощью двукратного применения правила маркиза Лопиталя. После этого в знаменателе будет число `2` и можно просто подставить в числитель `t=0`. А почему тут можно использовать эквивалентные, если предел стремится к бесконечности? Их же вроде можно только при стремлении предела к нулю использовать, нет?
|
|
|
|
|
|
|
|