Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 18 фев 2018, 07:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 36
Найти все пары чисел `(x, y)`, удовлетворяющие условиям:
`sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2`
`y>=4x^4+4yx^2+1/2`
Спасибо.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 18 фев 2018, 14:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4879
Откуда: Санкт-Петербург
nina216 писал(а):
Найти все пары чисел `(x, y)`, удовлетворяющие условиям:
`sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2`
`y>=4x^4+4yx^2+1/2`
Спасибо.

При `|x|=1/2` неравенство не выпоняется.
Рассмотите неравенство при 1) `x > 1/2`, 2) `-1/2 < x < 1/2` , 3) `x < -1/2`.
В 1) случае решений нет.
Во 2) - одно решение `x=0qquad y=1/2`.
В 3) - одно решение `x=-1qquad y= -3/2`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 18 фев 2018, 15:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 36
vyv2 писал(а):
nina216 писал(а):
Найти все пары чисел `(x, y)`, удовлетворяющие условиям:
`sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2`
`y>=4x^4+4yx^2+1/2`
Спасибо.

При `|x|=1/2` неравенство не выпоняется.
Рассмотите неравенство при 1) `x > 1/2`, 2) `-1/2 < x < 1/2` , 3) `x < -1/2`.
В 1) случае решений нет.
Во 2) - одно решение `x=0qquad y=1/2`.
В 3) - одно решение `x=-1qquad y= -3/2`.


Большое спасибо за помощь! Если Вас не затруднит, подскажите, пожалуйста, путем каких преобразований или оценок исходных выражений можно установить наличие (отсутствие) решений на указанных промежутках? Как я ни крутила, не получается привести их к виду, позволяющему сделать какие-то выводы.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 18 фев 2018, 19:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4879
Откуда: Санкт-Петербург
nina216 писал(а):

Большое спасибо за помощь! Если Вас не затруднит, подскажите, пожалуйста, путем каких преобразований или оценок исходных выражений можно установить наличие (отсутствие) решений на указанных промежутках? Как я ни крутила, не получается привести их к виду, позволяющему сделать какие-то выводы.

А вы нарисуйте область допустимых значений (х,у) для уравнения `{(1/2(x-y)^2-(x-y)^4>=0),(y^2>=2x^2):}`
и посмотрите ее пересечение с решением неравенства для 3 случаев.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 19 фев 2018, 01:45 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5671
Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Найти все пары чисел `(x, y)`, удовлетворяющие условиям:
`sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2`
`y>=4x^4+4yx^2+1/2`
Спасибо.

1. Задача - довольно известная (в свое время).

2. `sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2 quad => quad`

а) `y^2 ge 2x^2 `;

б) `sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4) le 1/4` (Сами);

в) `sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4) = 1/4, quad if quad (x-y)^2=1/4`;

г) `2x^2 ge y^2-1/4` (тоже Сами);

д) `2x^2 = y^2-1/4, quad if quad (x-y)^2=1/4`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 19 фев 2018, 02:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5671
Откуда: Москва
3.

а) `{(2x^2 ge y^2-1/4), (y>=4x^4+4yx^2+1/2):} quad => quad 2x^2+y ge 4x^4+4yx^2+y^2+1/4 quad iff quad (2x^2+y)^2-(2x^2+y)+1/4 le 0 quad iff quad`

`quad iff quad ((2x^2+y)-1/2)^2 le 0 quad iff quad 2x^2+y=1/2;`

б) `{(2x^2 ge y^2-1/4), (y>=4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad {(2x^2+y=1/2), (2x^2 = y^2-1/4):} quad.`

4. `{(sqrt((1/2)*(x-y)^2-(x-y)^4)=y^2-2x^2), (y>=4x^4+4yx^2+1/2):} quad iff quad quad {(2x^2+y=1/2), ((x-y)^2=1/4), (y^2 ge 2x^2):} quad iff quad quad [({(x=0),(y=1/2):}), ({(x=-1),(y=-3/2):}):} quad.`

5. Дальше Сами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 19 фев 2018, 03:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4879
Откуда: Санкт-Петербург
Подробности:
Вложение:
1.jpg
1.jpg [ 98 KIB | Просмотров: 639 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 19 фев 2018, 07:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 36
Огромное спасибо за помощь! Разобралась.
Данная задача со вступительного экзамена на мехмат МГУ 1973 года.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Помогите с задачей
 Сообщение Добавлено: 19 фев 2018, 14:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5671
Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Огромное спасибо за помощь! Разобралась.
Данная задача со вступительного экзамена на мехмат МГУ 1973 года.

6. Да, задача - известная. И даже в середине 90-х вспоминалась
в "Кванте" как непростая.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: