Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тройной интеграл (ф-я, ограниченная поверхностью сферы)
 Сообщение Добавлено: 03 апр 2018, 17:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 07 июн 2016, 16:11
Сообщений: 15
Задача.
Дан интеграл `I = \int\int_V\int \sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz`, где область `V = {(x,y): x^2+y^2+z^2=z}`. Найти значение интеграла.

`x^2+y^2+z^2=z => x^2+y^2+(z-1/2)^2=(1/2)^2`.

Подробности:
ZOY:
Изображение

XOY:
Изображение

Тогда в декартовых координатах:

`I = \int_{1/2}^(1/2)dx \int_{-\sqrt(1/4-x^2)}^(\sqrt(1/4-x^2))dy \int_{1/2-\sqrt(1/4-x^2-y^2)}^(1/2+\sqrt(1/4-x^2-y^2))dz \sqrt(x^2+y^2+z^2)`.

Если найти с помощью WolframAplha данный интеграл, то получится, что `I = \pi/10`.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Проблема в том, что вручную найти такой интеграл нереально, поэтому нужно переходить в сферические координаты, т.е.:

`x = r\cos(\theta)\cos(\phi)`
`y = r\cos(\theta)\sin(\phi)`
`z = r\sin(\theta)`

`dxdydz = r^2\sin(\theta)d\phi dr d\theta`

Чтобы получить область (вот тут, наверное, и ошибка):

`0 <= \phi <= 2\pi`
`0 <= r <= 1/2`
`0 <= \theta <= \pi`

Тогда:

`\sqrt(x^2+y^2+z^2) = \sqrt(r^2) = r`
`I = \int_{0}^{2pi}d\phi \int_{0}^{1/2}dr \int_{0}^{\pi}d\theta * r^2\sin\theta * r`.

Проблема в том, что, находя, этот интеграл в сферических координатах, он равен `I = \pi/16`, что расходится с решением интеграла в `dxdydz`. Помогите найти ошибку.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Тройной интеграл (ф-я, ограниченная поверхностью сферы)
 Сообщение Добавлено: 03 апр 2018, 18:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5641
Откуда: Москва
thgleb писал(а):
Подробности:
Задача.
Дан интеграл `I = \int\int_V\int \sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz`, где область `V = {(x,y): x^2+y^2+z^2=z}`. Найти значение интеграла.

`x^2+y^2+z^2=z => x^2+y^2+(z-1/2)^2=(1/2)^2`.


Подробности:
ZOY:
Изображение

XOY:
Изображение

Подробности:
Тогда в декартовых координатах:

`I = \int_{1/2}^(1/2)dx \int_{-\sqrt(1/4-x^2)}^(\sqrt(1/4-x^2))dy \int_{1/2-\sqrt(1/4-x^2-y^2)}^(1/2+\sqrt(1/4-x^2-y^2))dz \sqrt(x^2+y^2+z^2)`.

Если найти с помощью WolframAplha данный интеграл, то получится, что `I = \pi/10`.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Проблема в том, что вручную найти такой интеграл нереально, поэтому нужно переходить в сферические координаты, т.е.:

`x = r\cos(\theta)\cos(\phi)`
`y = r\cos(\theta)\sin(\phi)`
`z = r\sin(\theta)`

`dxdydz = r^2\sin(\theta)d\phi dr d\theta`

Чтобы получить область (вот тут, наверное, и ошибка):

`0 <= \phi <= 2\pi`
`0 <= r <= 1/2`
`0 <= \theta <= \pi`

Тогда:

`\sqrt(x^2+y^2+z^2) = \sqrt(r^2) = r`
`I = \int_{0}^{2pi}d\phi \int_{0}^{1/2}dr \int_{0}^{\pi}d\theta * r^2\sin\theta * r`.

Проблема в том, что, находя, этот интеграл в сферических координатах, он равен `I = \pi/16`, что расходится с решением интеграла в `dxdydz`. Помогите найти ошибку.

1. `0 <= phi <= 2 pi, quad 0 <= r <= cos theta, quad 0 <= theta <= pi/2 quad => quad I = pi/(10).`

2. Дальше Сами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron