Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача по стереометрии
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2018, 11:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 47
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи:
В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.

Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по стереометрии
 Сообщение Добавлено: 03 авг 2018, 17:02 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 47
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по стереометрии
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2018, 16:27 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5741
Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи:
В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.

Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.

Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.

1. `{(AB+AC+AS=P),(AB+BC+BS=P),(AC+BC+CS=P),(AS+BS+CS=P):}, quad {(AB+AC=P-AS),(AB+BC=P-BS),(AC+BC=P-CS),(AS+BS+CS=P):} quad => quad 2P_(ABC)=3P-P, quad P_(ABC)=P, quad AS=BC, quad BS=AC, quad CS=AB, `

`quad DeltaABC=DeltaCSA=DeltaBAS=DeltaSCB, quad ABCS quad - quad` равногранный тетраэдр`, quad H=4r=4sqrt(3/(13)).`

2. Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что

`quad AS=AB_(1)=AC_(1), quad BS=A_(1)B=BC_(1), quad CS=A_(1)C=B_(1)C, quad` т.е. `DeltaA_(1)B_(1)S, quad DeltaA_(1)C_(1)S, quad DeltaB_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольные

треугольники, а тетраэдр `A_(1)B_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольный тетраэд.

3.

а) Проведем `SO perp A_(1)B_(1)C_(1), quad SO=H, quad SD perp A_(1)C_(1), quad SD=h.`

б) Обозначим `a=A_(1)S, quad b=B_(1)S, quad c=C_(1)S, quad` тогда `(b^2+a^2)+(b^2+c^2)=(A_(1)B_(1))^2+(B_(1)C_(1))^2=4(CS^2+AS^2)=48.`

в) Пусть `alpha=/_SA_(1)C_(1) quad - quad` меньший острый угол `DeltaA_(1)C_(1)S`, тогда `cos/_C_(1)BS=cos 2 alpha =(a^2-c^2)/(a^2+c^2)=1/3, quad a^2=2c^2.`

4. `{(2b^2+a^2+c^2=48),(a^2=2c^2),(h^2=(a^2c^2)/(a^2+c^2)),(H^2=(b^2h^2)/(b^2+h^2)=(48)/(13)):} quad => quad [(V_(SABC)=(abc)/24=(2sqrt6)/3),(V_(SABC)=(abc)/24=(48sqrt(39))/(169) gt 5/3):}`

Ответ: `V_(SABC)=(2sqrt6)/3.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по стереометрии
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2018, 06:56 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 47
Потрясающе! Огромное Вам спасибо, глубокоуважаемый OlG! К счастью, я смогла решить задачу, достроив тетраэдр до прямоугольного параллелепипеда. Решение получилось очень некрасивым, но ответ получился верным.

OlG писал(а):
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи:
В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.

Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.

Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.

1. `{(AB+AC+AS=P),(AB+BC+BS=P),(AC+BC+CS=P),(AS+BS+CS=P):}, quad {(AB+AC=P-AS),(AB+BC=P-BS),(AC+BC=P-CS),(AS+BS+CS=P):} quad => quad 2P_(ABC)=3P-P, quad P_(ABC)=P, quad AS=BC, quad BS=AC, quad CS=AB, `

`quad DeltaABC=DeltaCSA=DeltaBAS=DeltaSCB, quad ABCS quad - quad` равногранный тетраэдр`, quad H=4r=4sqrt(3/(13)).`

2. Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что

`quad AS=AB_(1)=AC_(1), quad BS=A_(1)B=BC_(1), quad CS=A_(1)C=B_(1)C, quad` т.е. `DeltaA_(1)B_(1)S, quad DeltaA_(1)C_(1)S, quad DeltaB_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольные

треугольники, а тетраэдр `A_(1)B_(1)C_(1)S quad - quad` прямоугольный тетраэд.

3.

а) Проведем `SO perp A_(1)B_(1)C_(1), quad SO=H, quad SD perp A_(1)C_(1), quad SD=h.`

б) Обозначим `a=A_(1)S, quad b=B_(1)S, quad c=C_(1)S, quad` тогда `(b^2+a^2)+(b^2+c^2)=(A_(1)B_(1))^2+(B_(1)C_(1))^2=4(CS^2+AS^2)=48.`

в) Пусть `alpha=/_SA_(1)C_(1) quad - quad` меньший острый угол `DeltaA_(1)C_(1)S`, тогда `cos/_C_(1)BS=cos 2 alpha =(a^2-c^2)/(a^2+c^2)=1/3, quad a^2=2c^2.`

4. `{(2b^2+a^2+c^2=48),(a^2=2c^2),(h^2=(a^2c^2)/(a^2+c^2)),(H^2=(b^2h^2)/(b^2+h^2)=(48)/(13)):} quad => quad [(V_(SABC)=(abc)/24=(2sqrt6)/3),(V_(SABC)=(abc)/24=(48sqrt(39))/(169) gt 5/3):}`

Ответ: `V_(SABC)=(2sqrt6)/3.`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по стереометрии
 Сообщение Добавлено: 16 ноя 2018, 11:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 ноя 2018, 11:12
Сообщений: 1
Я также ищу эту информацию.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: