Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2018, 08:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу


Вложения:
параметр_2.JPG
параметр_2.JPG [ 32.57 KIB | Просмотров: 1736 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2018, 16:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4698
Откуда: Санкт-Петербург
nina216 писал(а):
Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу

1. При `|a| > 1` решений системы нет ( надо доказать)
2. При `a=0` решений системы либо нет, либо бесконечно много в зависимости от b (надо доказать).
3. При `|a|=1`решение системы единственно `x=-b/a`(надо доказать), но первое уравнение системы имеет одно решение, а должно 5.
4. При `0 < |a| <1` система имеет два решения `x=(+-sqrt(1-a^2)-b)/a`( надо доказать), а первое уранение в зависимости от а будет иметь от одного и более решений , причем чем меньше `|a|`, тем больше решений.
5. Достаточно привести одну пару значений а и b и показать, что первое уравнение имеет 5 решений. Например, при `a=1/8 , quad b=-1/8`. Возможно натолкнет на решение график:
Вложение:
1_2.jpg
1_2.jpg [ 33.97 KIB | Просмотров: 1603 ]

Ответ: наименьшее число решений системы 2.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2018, 18:36 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
vyv2 писал(а):
nina216 писал(а):
Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу

1. При `|a| > 1` решений системы нет ( надо доказать)
2. При `a=0` решений системы либо нет, либо бесконечно много в зависимости от b (надо доказать).
3. При `|a|=1`решение системы единственно `x=-b/a`(надо доказать), но первое уравнение системы имеет одно решение, а должно 5.
4. При `0 < |a| <1` система имеет два решения `x=(+-sqrt(1-a^2)-b)/a`( надо доказать), а первое уранение в зависимости от а будет иметь от одного и более решений , причем чем меньше `|a|`, тем больше решений.
5. Достаточно привести одну пару значений а и b и показать, что первое уравнение имеет 5 решений. Например, при `a=1/8 , quad b=-1/8`. Возможно натолкнет на решение график:
Вложение:
1_2.jpg

Ответ: наименьшее число решений системы 2.


Большое спасибо за подробное объяснение. Я обратила внимание на то, что во втором уравнении системы записано равенство производных левой и правой частей первого уравнения (после его преобразования к виду `sin(x)=ax+b`), т.е., фактически, в системе сформулировано условие касания прямой и синусоиды. К сожалению, мне это не помогло продвинуться и решить задачу.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2018, 19:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 1052
vyv2 писал(а):
5. Достаточно привести одну пару значений а и b и показать, что первое уравнение имеет 5 решений. Например, при `a=1/8 , quad b=-1/8`. Возможно натолкнет на решение график:
Вложение:
1_2.jpg

Ответ: наименьшее число решений системы 2.

К сожалению, указанные Вами значения параметров не удовлетворяют условию задачи - система решений не имеет,
ибо ни в одной из точек пересечения нет касания.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 30 апр 2018, 22:38 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4698
Откуда: Санкт-Петербург
Ischo_Tatiana писал(а):
Ответ: наименьшее число решений системы 2
К сожалению, указанные Вами значения параметров не удовлетворяют условию задачи - система решений не имеет,
ибо ни в одной из точек пересечения нет касания.

Согласен.
Исправляю п.5:
Достаточно привести одну пару значений а и b и показать, что первое уравнение имеет 5 решений , и есть касание в двух точках . Например, при `b=0 qquad a=cos(x_2)=cos(-x_2)~~0.129` , где `x_2~~7.725`- третий по возрстанию корень уравнения `tg(x)=x`, начиная с `x_0=0` . При `+-x_2` касание.
Вложение:
1_2.jpg
1_2.jpg [ 35.79 KIB | Просмотров: 1351 ]

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 01 май 2018, 06:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 1052
vyv2 писал(а):
Исправляю п.5:

А пункты 3 и 4?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 01 май 2018, 11:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4698
Откуда: Санкт-Петербург
Ischo_Tatiana писал(а):
А пункты 3 и 4?

А в пунктах 3 и 4 ошибки найти не могу. Прошу помощи.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 01 май 2018, 18:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 1052
vyv2 писал(а):
А в пунктах 3 и 4 ошибки найти не могу. Прошу помощи.

Ваш п. 3:

vyv2 писал(а):
3. При `|a|=1`решение системы единственно `x=-b/a`(надо доказать), но первое уравнение системы имеет одно решение, а должно 5.

А как же, например, при `a=1`, `b=-1`? Разве система имеет решение?

Ваш п. 4:
vyv2 писал(а):
4. При `0 < |a| <1` система имеет два решения `x=(+-sqrt(1-a^2)-b)/a`( надо доказать), а первое уравнение в зависимости от а будет иметь от одного и более решений , причем чем меньше `|a|`, тем больше решений.

А как же Ваш собственный пример?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 04 май 2018, 10:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4698
Откуда: Санкт-Петербург
Предлагаю другое решение этой задачи на мой взгляд свободное о недотатков предущего неверного решения.

1. При `|a| > 1` решений системы нет, т.к. второе уравнение не имеет решения.
2. При `a=0` решений системы либо нет, либо бесконечно много в зависимости от b (надо доказать).
3. Рассмотрим случай `0 <|a|<= 1`. Для удобства перейдем к другой переменной `t=pi/2-x`. Тогда исходную систему можно зписать в виде `{(cost=-at+b'),(sint=a):}`, где `b'=b+pi/2`. Проведем к `cost`касательную `y=-at+b'` через точку `(t_o,sint_o )`, где `t_o in (0,pi/2)`. В зависимости от `a!=0`эта касательная будет пересекать функцию `cost` в конечном числе точек, причем , если она не будет касаться `cost`в другой точке, то число пересечений будет нечетным, и при уменьшении а к нулю число пересечений будет увеличиваться. Заметим, что в точках пересечения удолетворяется первое уранение, но не удовлетворяется второе, а в точках касания удовлетворяется и первое и второе уранение, т.е. система.
Нам нужно по условию задачи, чтобы число решений первого уравнения было 5. Т.о. число точек касания должно быть две.
Определим а и b, при которых выполняется это условие . Из рис. угол наклона касательной `a=tg(alpha)=(2cos(t_o))/(5pi-2t_o)=sin(t_o)`, а уравнение `(2cos(t_o))/(5pi-2t_o)=sin(t_o)`или `tg(t_o)=1/(2.5pi-t_o)`имеет единственное решение при `t_o in (0,pi/2)`.
Вложение:
1__.jpg
1__.jpg [ 35.67 KIB | Просмотров: 442 ]

При малом `t_o qquad tg(t_o)~~t_o` можно получить приближенное значение `t_o` из кадратного уавнения `t^2_o-2.5 t_o +1=0`
`t_o=(5pi-sqrt(25(pi)^2-16))/4~~0.129`.
При этом `a=sin(t_o)~~0.129`,
`b'=(5pi)/2tg(alpha)~~1.013`
`b=b'-(api)/2=2pia~~0.81.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача с параметром
 Сообщение Добавлено: 04 май 2018, 17:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
vyv2 писал(а):
Предлагаю другое решение этой задачи на мой взгляд свободное о недотатков предущего неверного решения.

1. При `|a| > 1` решений системы нет, т.к. второе уравнение не имеет решения.
2. При `a=0` решений системы либо нет, либо бесконечно много в зависимости от b (надо доказать).
3. Рассмотрим случай `0 <|a|<= 1`. Для удобства перейдем к другой переменной `t=pi/2-x`. Тогда исходную систему можно зписать в виде `{(cost=-at+b'),(sint=a):}`, где `b'=b+pi/2`. Проведем к `cost`касательную `y=-at+b'` через точку `(t_o,sint_o )`, где `t_o in (0,pi/2)`. В зависимости от `a!=0`эта касательная будет пересекать функцию `cost` в конечном числе точек, причем , если она не будет касаться `cost`в другой точке, то число пересечений будет нечетным, и при уменьшении а к нулю число пересечений будет увеличиваться. Заметим, что в точках пересечения удолетворяется первое уранение, но не удовлетворяется второе, а в точках касания удовлетворяется и первое и второе уранение, т.е. система.
Нам нужно по условию задачи, чтобы число решений первого уравнения было 5. Т.о. число точек касания должно быть две.
Определим а и b, при которых выполняется это условие . Из рис. угол наклона касательной `a=tg(alpha)=(2cos(t_o))/(5pi-2t_o)=sin(t_o)`, а уравнение `(2cos(t_o))/(5pi-2t_o)=sin(t_o)`или `tg(t_o)=1/(2.5pi-t_o)`имеет единственное решение при `t_o in (0,pi/2)`.
Вложение:
1__.jpg

При малом `t_o qquad tg(t_o)~~t_o` можно получить приближенное значение `t_o` из кадратного уавнения `t^2_o-2.5 t_o +1=0`
`t_o=(5pi-sqrt(25(pi)^2-16))/4~~0.129`.
При этом `a=sin(t_o)~~0.129`,
`b'=(5pi)/2tg(alpha)~~1.013`
`b=b'-(api)/2=2pia~~0.81.


Спасибо! Данная задача предлагалась в 2004 году при проведении централизованного (абитуриентского) тестирования по математике. Расчетное время ее решения (по логике составителей вариантов централизованного тестирования) - 7-10 минут. Не представляю, как можно решить подобную задачу за столь короткое время.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: