Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Параметр
 Сообщение Добавлено: 17 май 2018, 18:37 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
Здравствуйте! Прошу подсказать путь решения следующей задачи: найти значения параметров `a` и `b`, при которых максимальное значение выражения `||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим.
Заранее спасибо!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 май 2018, 00:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4773
Откуда: Санкт-Петербург
nina216 писал(а):
Здравствуйте! Прошу подсказать путь решения следующей задачи: найти значения параметров `a` и `b`, при которых максимальное значение выражения `||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим.
Заранее спасибо!

Т.к. максимальное значение выражения `||x+a|+b|>=0`, то его минимальное значение должно быть `>=0` .
Отсюда оно не может быть отрицательным.
Максимальное значение функции `|x|`на `x in [m.n]` принимает на концах отрезка или при `x=m`, или при `x=n`, т.е при `x=max{|m|,|n|}`. Если мы положим `a=0` и `b=-max{|m|,|n|}`, то`max( |x|-max{|m|,|n|})-=0`при `x in [m.n]`, т.е. `min(max(||x|-max{|m|,|n|}|))=0` .
Ответ: при `a=0` и `b=-max{|m|,|n|}

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 май 2018, 06:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
vyv2 писал(а):
nina216 писал(а):
Здравствуйте! Прошу подсказать путь решения следующей задачи: найти значения параметров `a` и `b`, при которых максимальное значение выражения `||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим.
Заранее спасибо!

Т.к. максимальное значение выражения `||x+a|+b|>=0`, то его минимальное значение должно быть `>=0` .
Отсюда оно не может быть отрицательным.
Максимальное значение функции `|x|`на `x in [m.n]` принимает на концах отрезка или при `x=m`, или при `x=n`, т.е при `x=max{|m|,|n|}`. Если мы положим `a=0` и `b=-max{|m|,|n|}`, то`max( |x|-max{|m|,|n|})-=0`при `x in [m.n]`, т.е. `min(max(||x|-max{|m|,|n|}|))=0` .
Ответ: при `a=0` и `b=-max{|m|,|n|}


Уважаемый Юрий Владимирович, спасибо за помощь! К сожалению, правильный ответ такой: `a=(-1/2)*(m+n)`; `b=(1/4)*(m-n)`. Пытаясь решить задачу, я исходила из того, что функция `f(x)=||x+a|+b|` достигает наибольшего значения в одной из точек `x=m`; `x=n`; `x=-a`. Мне подсказали, что условие задачи будет выполнено, если значения функции `f(x)` на концах отрезка `[m, n]` и в точке `x=-a` одинаковы (из равенства значений легко находятся искомые значения параметров). Таким образом, задача сводится к доказательству того, что максимальное значение функции `f(x)=||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим, если `f(m)=f(n)=f(-a)`. Увы, не могу строго доказать данное утверждение.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 май 2018, 08:31 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4773
Откуда: Санкт-Петербург
nina216 писал(а):

Я понял, где ошибся. При `a=0` и `b=-max{|m|,|n|}` из `max( |x|-max{|m|,|n|})-=0` для любого m и n не следует, что `max(| |x|-max{|m|,|n|}|)-=0`. Спасибо.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 май 2018, 09:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 1067
nina216 писал(а):
Таким образом, задача сводится к доказательству того, что максимальное значение функции `f(x)=||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим, если `f(m)=f(n)=f(-a)`. Увы, не могу строго доказать данное утверждение.

Функция имеет не более трех точек излома, не более четырех промежутков монотонности.
Найдется промежуток монотонности, длина которого не меньше `(n-m)/4`.
Если длина промежутка монотонности равна `\Delta`, то наибольшее значение на этом промежутке не меньше `\Delta`.
Итак, наибольшее значение функции на промежутке длины `n-m` не меньше `(n-m)/4`.
Минимум достигается, если промежутков монотонности 4, все они равны, а значения в нижних точках изломов равны нулю.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 19 май 2018, 10:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 фев 2018, 07:43
Сообщений: 21
Ischo_Tatiana писал(а):
nina216 писал(а):
Таким образом, задача сводится к доказательству того, что максимальное значение функции `f(x)=||x+a|+b|` на промежутке `m<=x<=n` будет наименьшим, если `f(m)=f(n)=f(-a)`. Увы, не могу строго доказать данное утверждение.

Функция имеет не более трех точек излома, не более четырех промежутков монотонности.
Найдется промежуток монотонности, длина которого не меньше `(n-m)/4`.
Если длина промежутка монотонности равна `\Delta`, то наибольшее значение на этом промежутке не меньше `\Delta`.
Итак, наибольшее значение функции на промежутке длины `n-m` не меньше `(n-m)/4`.
Минимум достигается, если промежутков монотонности 4, все они равны, а значения в нижних точках изломов равны нулю.


Большое спасибо!!!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 30 май 2018, 23:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июн 2017, 10:17
Сообщений: 54
Ответ у меня совпал( см ниже ном 18),но что-то мне подсказывает ,что в решении что-то отсутствует :ymsick:
Убедительно прошу ,
указать на ошибки ,неточности.
http://alexlarin.net/ege/2018/trvar205.html

Изображение





Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 31 май 2018, 04:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 янв 2015, 09:06
Сообщений: 902
Откуда: Кемерово
Логарифм1 писал(а):
Ответ у меня совпал( см ниже ном 18),но что-то мне подсказывает ,что в решении что-то отсутствует :ymsick:
Убедительно прошу ,
указать на ошибки ,неточности.
Подробности:
Возможен еще вариант, когда `D>0`, а один из корней `x_1=-1`. Подстановкой получаем, что `a=-2,\ \x_2=1`. Новых значений `a` действительно не появляется.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 31 май 2018, 09:38 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июн 2017, 10:17
Сообщений: 54
уд


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Параметр
 Сообщение Добавлено: 31 май 2018, 09:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июн 2017, 10:17
Сообщений: 54
Владимир Анатольевич писал(а):
Логарифм1 писал(а):
Ответ у меня совпал( см ниже ном 18),но что-то мне подсказывает ,что в решении что-то отсутствует :ymsick:
Убедительно прошу ,
указать на ошибки ,неточности.
Подробности:
Возможен еще вариант, когда `D>0`, а один из корней `x_1=-1`. Подстановкой получаем, что `a=-2,\ \x_2=1`. Новых значений `a` действительно не появляется.

Спасибо! Я рассматривал этот случай ,но не включил в описание. Это бы ,видимо ,сочли бы за ошибку.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Параметр


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: