Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство из реального ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 04 июн 2018, 15:40 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 дек 2016, 22:03
Сообщений: 18
Добрый день.На ЕГЭ попалось данное неравенство.Мой ответ:(0;1/3];[1/2;1),но я сильно не уверен.Хотелось бы узнать правильно я решил или нет


Вложения:
_3qUC1xZcAs.jpg
_3qUC1xZcAs.jpg [ 9.47 KIB | Просмотров: 1167 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 04 июн 2018, 16:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1730
Откуда: Москва
Верно :) . Надеюсь ОДЗ Вы не искали ? Как раз тот тип примера, когда нужно перейти к равносильной системе

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 05 июн 2018, 01:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
Подробности:
TomModom12 писал(а):
Добрый день.На ЕГЭ попалось данное неравенство.Мой ответ:(0;1/3];[1/2;1),но я сильно не уверен.Хотелось бы узнать правильно я решил или нет
Изображение

1. Конкретно для данного неравенства ОДЗ найти несложно:

`{(x gt 0),(x/(1-x) gt 0),(8x^2+1/x-3 gt 0):} quad iff quad {(x gt 0),(0 lt x lt 1),((8x^3-3x+1)/x gt 0):} quad iff quad {(0 lt x lt 1),(8x^3-3x+1 gt 0):} quad . `

2. Покажем, что второе неравенство получившейся системы - тождественно верное
неравенство при условии, что `0 lt x lt 1`. Сделаем замену `x=cos t, quad t in (0; quad pi/2)`, тогда
неравенство можно записать в виде `(4 cos^3 t-3 cost)+4 cos^3 t +1 gt 0, quad cos 3t+4 cos^3 t +1 gt 0`.
Поскольку при ` t in (0; quad pi/2) quad cos 3t ge -1, quad cos t gt 0`, то `cos 3t+4 cos^3 t +1 gt 0`, и, следовательно,
`8x^3-3x+1 gt 0`, если `0 lt x lt 1`. Получили, что ОДЗ исходного неравенства `0 lt x lt 1`.

3. Несмотря на простоту нахождения ОДЗ этого неравенства, решение неравенства еще
проще без его нахождения - для этого надо заменить неравенство равносильной этому
неравенству системой `{(0 lt x lt 1),(4x-4x^2 le 8x^2+1/x-3 gt 0):} quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 05 июн 2018, 08:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1730
Откуда: Москва
Несмотря на то ,что доказывать второе неравенства вообще не нужно (без ОДЗ проще), предлагаю еще один способ его доказательства (без тригонометрической подстановки и косинуса тройного угла , хотя действительно , что может быть проще ?) :
Найти наименьшее значение функции `y=8x^3-3x+1` на отрезке `[0;1]` (производная) и убедиться , что оно положительно

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 05 июн 2018, 17:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
4. Покажем, что второе неравенство получившейся системы - тождественно верное
неравенство при условии, что `0 lt x lt 1`. Не будем использовать при этом материал
10-11 класса (кое-что школьник на экзамене от волнения может не вспомнить или даже
вообще никогда не знать). Воспользуемся материалом, который проходят в 8-9 классе:

`8x^3-3x+1=(4x^3+4)-3x-3+4x^3=(x+1)(4x^2-4x+4)-3(x+1)+4x^3=(x+1)(4x^2-4x+1)+4x^3=`

`=(x+1)(2x-1)^2+4x^3.` Поскольку при `0 lt x lt 1 quad (x+1)(2x-1)^2 ge 0, quad 4x^3 gt 0`, то `(x+1)(2x-1)^2+4x^3 gt 0,`

и, следовательно, `8x^3-3x+1 gt 0`, если `0 lt x lt 1`. Получили, что ОДЗ исходного неравенства `0 lt x lt 1`.


5. Продублирую пункт 3. Несмотря на простоту нахождения ОДЗ этого неравенства,
решение неравенства еще проще без его нахождения - для этого надо заменить
неравенство равносильной этому неравенству системой `{(0 lt x lt 1),(4x-4x^2 le 8x^2+1/x-3 gt 0):} quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 10

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: