2. Покажем, что второе неравенство получившейся системы - тождественно верное неравенство при условии, что `0 lt x lt 1`. Сделаем замену `x=cos t, quad t in (0; quad pi/2)`, тогда неравенство можно записать в виде `(4 cos^3 t-3 cost)+4 cos^3 t +1 gt 0, quad cos 3t+4 cos^3 t +1 gt 0`. Поскольку при ` t in (0; quad pi/2) quad cos 3t ge -1, quad cos t gt 0`, то `cos 3t+4 cos^3 t +1 gt 0`, и, следовательно, `8x^3-3x+1 gt 0`, если `0 lt x lt 1`. Получили, что ОДЗ исходного неравенства `0 lt x lt 1`.
3. Несмотря на простоту нахождения ОДЗ этого неравенства, решение неравенства еще проще без его нахождения - для этого надо заменить неравенство равносильной этому неравенству системой `{(0 lt x lt 1),(4x-4x^2 le 8x^2+1/x-3 gt 0):} quad.`
_________________ Никуда не тороплюсь!
antonov_m_n
Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25 Сообщений: 2193 Откуда: Москва
Несмотря на то ,что доказывать второе неравенства вообще не нужно (без ОДЗ проще), предлагаю еще один способ его доказательства (без тригонометрической подстановки и косинуса тройного угла , хотя действительно , что может быть проще ?) : Найти наименьшее значение функции `y=8x^3-3x+1` на отрезке `[0;1]` (производная) и убедиться , что оно положительно
_________________ Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
OlG
Заголовок сообщения: Re: Неравенство из реального ЕГЭ
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6787 Откуда: Москва
4. Покажем, что второе неравенство получившейся системы - тождественно верное неравенство при условии, что `0 lt x lt 1`. Не будем использовать при этом материал 10-11 класса (кое-что школьник на экзамене от волнения может не вспомнить или даже вообще никогда не знать). Воспользуемся материалом, который проходят в 8-9 классе:
`=(x+1)(2x-1)^2+4x^3.` Поскольку при `0 lt x lt 1 quad (x+1)(2x-1)^2 ge 0, quad 4x^3 gt 0`, то `(x+1)(2x-1)^2+4x^3 gt 0,`
и, следовательно, `8x^3-3x+1 gt 0`, если `0 lt x lt 1`. Получили, что ОДЗ исходного неравенства `0 lt x lt 1`.
5. Продублирую пункт 3. Несмотря на простоту нахождения ОДЗ этого неравенства, решение неравенства еще проще без его нахождения - для этого надо заменить неравенство равносильной этому неравенству системой `{(0 lt x lt 1),(4x-4x^2 le 8x^2+1/x-3 gt 0):} quad.`
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения