Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 04:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 860
Откуда: Москва
1. Даны две пересекающиеся прямые `a`,`b` и точка `O` им не принадлежащая. Докажите, что существует единственный отрезок, концы которого принадлежат данным прямым, а середина совпадает с точкой `O`.

Я попробовал доказать так.
Существование. Пусть прямые `a`,`b` пересекаются в точке `M`. Построим точку `M'` симметричную точке `M` относительно точки `O` и проведем через точку `M'` прямые `a'`, `b'`, параллельные прямым `a`,`b` соответственно, `a\cap b'=A`, `a'\cap b=B`. Тогда мы получим параллелограмм `AMBM'`, у которого `MM'` и `AB` - диагонали, значит, точка `O` - середина `AB`. Таким образом существование доказано.

А вот как же доказать единственность..?[/b]

2. Через середины `M`, `N` и `P` сторон треугольника `ABC` проведены прямые, параллельные биссектрисам противоположных углов. Докажите что они пересекаются в одной точке `Q`, а точка `Q`, центр вписанной в треугольник `ABC` окружности и точка `M` пересечения его медиан лежат на одной прямой.

Используя гомотетию, я смог доказать, что прямые пересекаются в одной точке `Q`. А как доказать, что эти три точки лежат на одной прямой..?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 06:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 авг 2017, 10:10
Сообщений: 96
Я бы так доказал: Построим первый отрезок `AB` вашим способом. Ясно что любой указанный отрезок лежит внутри одного угла. Предположим что найдется еще один такой отрезок `A'B'`. Сделаем параллельный перенос переводящий один из концов отрезка `A'B'` в конец отрезка `AB`(скажем `A'` перейдет в `A`), тогда получится отрезок `AB''`, причем прямая `MO` пересекает отрезок `AB''` в середине `O'`(по предположению). Но тогда отрезок `OO'`, который лежит на прямой `MO` параллелен либо прямой `a` либо прямой `b`. Противоречие.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 06:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 18 авг 2017, 10:10
Сообщений: 96
2. Пусть `Q, O`- точки пересечения биссектрис треугольников `MNP, ABC`, т.к стороны треугольника `MNP` есть средние линии треугольника `ABC`, то `PQ` параллельна `BO`, `NQ` параллельна `AO`, `MQ` параллельна `CO`(между этими треугольниками есть соответствие).
Проведем медиану `BP`, она пересекет отрезок `OQ` в точке `M`. Треугольники `BOM` и `PQM` подобны с коэффициентом подобия `2`. Значит `BM:MP=2`. Т.е. M-точка пересечения медиан


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 09:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 860
Откуда: Москва
Andreymath, спасибо! С первой задачей думал так же прийти к противоречию, но не знал, как это грамотно оформить.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 11:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1706
Откуда: Москва
Можно еще векторы использовать :
`A` и`B`-построенные точки , `vec(MA)=veca ; vec(MB)=vecb, ` `vec(MO)=1/2(veca+vecb) ;`` A_1 ;B_1`-точки этих прямых и `O`-середина` [A_1;B_1]` ,` vec(MA_1)=kveca ;vec(MB_1)=mvecb;vec(MO)=1/2(kveca+mvecb)=>1/2(kveca+mvecb)=1/2(veca+vecb)=>k=m=1=>` точки `A ` и `A_1` а также `B` и `B_1` совпадают

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Доказательство
 Сообщение Добавлено: 09 июн 2018, 11:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 860
Откуда: Москва
antonov_m_n писал(а):
Можно еще векторы использовать :
`A` и`B`-построенные точки , `vec(MA)=veca ; vec(MB)=vecb, ` `vec(MO)=1/2(veca+vecb) ;`` A_1 ;B_1`-точки этих прямых и `O`-середина` [A_1;B_1]` ,` vec(MA_1)=kveca ;vec(MB_1)=mvecb;vec(MO)=1/2(kveca+mvecb)=>1/2(kveca+mvecb)=1/2(veca+vecb)=>k=m=1=>` точки `A ` и `A_1` а также `B` и `B_1` совпадают

Супер,Михаил Николаевич!!! спасибо! :obscene-drinkingcheers:


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: