Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 21 июн 2018, 19:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 25 мар 2018, 16:58
Сообщений: 5
Две окружности, касающиеся друг друга внешним образом, расположены внутри выпуклого четырёхугольника CTYP. Первая окружность радиусом 6 касается сторон YT, CT и CP. Вторая окружность радиусом 10 касается сторон CP, PY и TY. Пусть S и Z — точки касания окружностей со стороной CP, точка Q делит отрезок ZS так, что QZ=QS. Чему равна длина CT, если центр первой окружности лежит на отрезке TQ, а центр второй окружности лежит на отрезке YQ?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 22 июн 2018, 00:13 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
Подробности:
GrigorevaEM3 писал(а):
Две окружности, касающиеся друг друга внешним образом, расположены внутри выпуклого четырёхугольника CTYP. Первая окружность радиусом 6 касается сторон YT, CT и CP. Вторая окружность радиусом 10 касается сторон CP, PY и TY. Пусть S и Z — точки касания окружностей со стороной CP, точка Q делит отрезок ZS так, что QZ=QS. Чему равна длина CT, если центр первой окружности лежит на отрезке TQ, а центр второй окружности лежит на отрезке YQ?

1. `CT=(8sqrt(15))/3.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 23 июн 2018, 14:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 25 мар 2018, 16:58
Сообщений: 5
Отлично! А можно немного подробностей из решения?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 23 июн 2018, 14:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
Подробности:
GrigorevaEM3 писал(а):
Отлично! А можно немного подробностей из решения?

2. Да, можно. Загрузите в тему Ваш рисунок.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 23 июн 2018, 23:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 25 мар 2018, 16:58
Сообщений: 5
Вложение:
рисунок 1.jpg
рисунок 1.jpg [ 101.19 KIB | Просмотров: 1797 ]


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2018, 02:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
3. Рисунок под спойлером. Краткое решение:
Подробности:
Вложение:
2018.06.22.pdf [48.1 KIB]
Скачиваний: 304

а) `DeltaQCT=DeltaQ Q'T.`

б) `SZ=S'Z'=Q Q'=QC=2sqrt(rR)=4sqrt(15), quad QE=EQ'=QS=SC=CS''=Q'S'=2sqrt(15).`

в) `O_(1)Q=O_(1)Q'=O_(1)C=4sqrt(6).`

г) `sin alpha=(sqrt(6))/4, quad cos alpha=(sqrt(10))/4, quad sin 2 alpha =(sqrt(15))/4, quad sin 3 alpha =(3sqrt(6))/8, quad tg(3 alpha -90^@)=(sqrt(15))/9.`

4. Через касательную и прямоугольный треугольник:

`CT=CS''+S''T=CS''+r*tg(3 alpha -90^@)=2sqrt(15)+6*(sqrt(15))/9=(8sqrt(15))/3.`

5. Через площади:

`S_(QCT)=S_(QO_(1)C)+S_(CO_(1)T), quad 1/2*QC*CT*sin 2 alpha=1/2*QC*r+1/2*CT*r, quad`

`1/2*4sqrt(15)*CT*(sqrt(15))/4=1/2*4sqrt(15)*6+1/2*CT*6, quad CT=(8sqrt(15))/3.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2018, 02:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
6. По формуле биссектрисы:

`CO_(1)=(2*CT*QC*cos alpha)/(CT+QC), quad 4sqrt(6)=(2*CT*4sqrt(15)*(sqrt(10))/4)/(CT+4sqrt(15)) , quad CT=(8sqrt(15))/3.`

7. По теореме синусов:

`(CT)/(sin alpha)=(QC)/(sin 3 alpha), quad (CT)/((sqrt(6))/4)=(4sqrt(15))/((3sqrt(6))/8), quad CT=(8sqrt(15))/3.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2018, 05:15 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
8. Решение для школьников 8-го класса (без тригонометрии):

а) `TS''=TS'=x, quad YZ''=YZ'=y.`

б) `(S_(CQ Q'T))/(S_(PQ Q'Y))=(CT)/(PY) quad => quad (3(x+6sqrt(15)))/(5(y+6sqrt(15)))=(x+2sqrt(15))/(y+2sqrt(15)).`

в) `DeltaTO_(1)S' sim DeltaYO_(2)Z' quad => quad xy=rR=60.`

г) `{( (3(x+6sqrt(15)))/(5(y+6sqrt(15)))=(x+2sqrt(15))/(y+2sqrt(15))),(xy=60):} quad iff quad {( x=(2sqrt(15))/3),(y=6sqrt(15)):} quad, quad {(CT=(8sqrt(15))/3),(PY=8sqrt(15)):} quad.`

9. Дальше Сами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2018, 09:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 25 мар 2018, 16:58
Сообщений: 5
Спасибо огромное! Исчерпывающе подробно и на все вкусы. А какой программой пользуетесь для оформления решения?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по планиметрии
 Сообщение Добавлено: 24 июн 2018, 13:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5729
Откуда: Москва
Подробности:
GrigorevaEM3 писал(а):
Спасибо огромное! Исчерпывающе подробно и на все вкусы. А какой программой пользуетесь для оформления решения?

10. Для рисунка к задаче использована программа GeoGebra.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: