Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Vladimir Serov писал(а):
Большое спасибо. Во втором решении разобрался. С третьим решением с `t` сидел долго, получилось не несложно, а сложно. Не нашел простое решение.
53. Возможно именно замена помешала Вам решить это простое неравенство. Пример имеет странную особенность - как его не решай (с заменой или без замены), но каждое следующее решение проще предыдущего:
`qquad (sqrt(1+x)-1)(sqrt(1-x)+1) le x/sqrt(2) quad iff quad (sqrt(1+x)+1)(sqrt(1+x)-1)(sqrt(1-x)+1) le x/sqrt(2)(sqrt(1+x)+1) quad iff quad`
`quad iff quad ((1+x)-1)(sqrt(2)sqrt(1-x)+sqrt(2)) le x (sqrt(1+x)+1) quad iff quad x ((sqrt(1+x))^2-(sqrt(2)sqrt(1-x)+sqrt(2)-1)^2) ge 0 quad iff quad`
`quad iff quad {(x(-3(sqrt(1-x))^2 - 2(2-sqrt(2))sqrt(1-x)+2sqrt(2)-1) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad {(x(sqrt(1-x)+1)((2sqrt2-1)/3-sqrt(1-x)) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad
` quad iff quad {(x((9-4sqrt2)/9-(1-x)) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad {(x(x-(4sqrt2)/9) ge 0),(-1 le x le 1):} quad iff quad [(-1 le x le 0),((4sqrt2)/9 le x le 1):} quad.`
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи: В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.
Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.
Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.
2) Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Webmex писал(а):
Cпасибо большое за помощь! Про топик понял, думал что в теме ДВИ 2018 не актуально спрашивать про 70-ые года. Только одного не понял - как найти эту 1/2 из ур-ия 5-6х-4sin((πx)/3)=0
56.
а) Актуально. В теме МГУ ДВИ 2017 обсуждались варианты МГУ следующих годов: 1969, 1973, 1974, 1975, 1976... Примеры - вполне приличные. Тригонометрия вызовет затруднения не только у Вас.
б) На промежутке `pi/(18) le (πx)/3 le pi/2` ищутся два корня уравнения. Совершенно естественно проверить те значения, при которых синус - рациональное число, т.е. `(πx)/3=pi/6` и `(πx)/3=pi/2`. Не обманул - корни легко угадываются.
Здравствуйте, можете пожалуйста подсказать несколько моментов? 1) Правильно ли я нашёл ОДЗ в неравенстве? (указано на атачменте) 2) Как лучше решить это н-во, просто опустить логарифмы или через рационализацию, или каким-то другим способом? При опускании логарифмов получается область (-3/4; 0) U (1; ∞) и тогда не получается ответ (тоже указан на атачменте). А через рационализацию получается (-∞; -3/4) U (0; 1), и здесь я бы уже мог получить ответ, если бы не моё скорее всего неверное ОДЗ. 3) Как упростить это уравнение?
Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25 Сообщений: 2193 Откуда: Москва
1) В неравенстве нет смысла искать ОДЗ , достаточно перейти к равносильной системе ( с учетом того, что косинус меньше 1 , решили вы его неверно , знак надо менять , при правильном решении получается указанный вами ответ `(1/2;1)` , при этом надо проверить, что полученное множество удовлетворяет всем ограничениям 2) уравнение легко привести к виду :` (1/2log_2(x+1)-log_2(x-1))*(x-4/3)=0`
_________________ Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Webmex писал(а):
Здравствуйте, можете пожалуйста подсказать несколько моментов? 1) Правильно ли я нашёл ОДЗ в неравенстве? (указано на атачменте) 2) Как лучше решить это н-во, просто опустить логарифмы или через рационализацию, или каким-то другим способом? При опускании логарифмов получается область (-3/4; 0) U (1; ∞) и тогда не получается ответ (тоже указан на атачменте). А через рационализацию получается (-∞; -3/4) U (0; 1), и здесь я бы уже мог получить ответ, если бы не моё скорее всего неверное ОДЗ. 3) Как упростить это уравнение?
Спасибо. Надеюсь, что смогу разобраться в решении.
Помимо решений, предложенных OlG, это простое неравенство можно решать с помощью замены `sqrt(x+1)=t`. Ну а дальше всё стандартно: метод расщепления, метод рационализации, метод интервалов и т.д. Попробуйте. Там несложно. Удачи!
Здесь было мое решение указанного неравенства, но написанное от руки. Я его отпечатал и поместил на с. 21. Там же одновременно привел решение с использованием тригонометрической подстановки.
Последний раз редактировалось rgg 31 авг 2018, 00:12, всего редактировалось 2 раз(а).
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения