Автор |
Сообщение |
Logarifm2-8-3
|
Заголовок сообщения: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 03 июл 2023, 16:46 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2023, 19:44 Сообщений: 50
|
Доброго дня. Подскажите, пожалуйста, идею решения задачи.
Вложения: |
ldb.png [ 59.61 KIB | Просмотров: 4180 ]
|
|
|
|
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 03 июл 2023, 19:56 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49 Сообщений: 2037 Откуда: Ставрополь
|
Пусть `sin(alpha)=a`, `sin(beta)=b`, `sin(gamma)=c`. При этом `0<a,b,c<=1`. Тогда
`(1)/(sin(gamma))+(1)/(sin(alpha)+sin(beta))=(2(b+c)^2)/(c(2b^2+2bc+c))=(8)/(5)+(10b^2-16b^2c+20bc-16bc^2+2c^2)/(c(2b^2+2bc+c))=(8)/(5)+(10b^2(1-c)+6bc(1-b)+14bc(1-c)+2c^2(1-b))/(c(2b^2+2bc+c))>=(8)/(5)`.
Наименьшее значение `(8)/(5)` достигается при `alpha=arcsin(2/3)` и `beta=gamma=(pi)/(2).`
Ответ: `(8)/(5)`
|
|
|
|
|
Logarifm2-8-3
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 11:34 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2023, 19:44 Сообщений: 50
|
А после второго знака равно как мы вышли на `8/5` ? Какие рассуждения?
|
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 11:41 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49 Сообщений: 2037 Откуда: Ставрополь
|
Logarifm2-8-3 писал(а): А после второго знака равно как мы вышли на `8/5` ? Какие рассуждения? `b=c=1` - максимально возможные значения.
|
|
|
|
|
Logarifm2-8-3
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 12:27 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2023, 19:44 Сообщений: 50
|
т.е. мы сначала предположили, что `8/5` может оказаться минимальным значением. Затем, после выделения `8/5`, получили выражение `(10b^2-16b^2c+20bc-16bc^2+2c^2)/(c(2b^2+2bc+c))`, которое не отрицательно при `0<a,b,c<=1`. Значит наше предположение верно и `8/5` действительно является минимальным значением. Такие у Вас были изначально рассуждения?
|
|
|
|
|
Logarifm2-8-3
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 12:49 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2023, 19:44 Сообщений: 50
|
Меня ещё смущает то, что при `b=c=1`, числитель дроби принимает наибольшее значение.
|
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 15:44 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49 Сообщений: 2037 Откуда: Ставрополь
|
Logarifm2-8-3 писал(а): т.е. мы сначала предположили, что `8/5` может оказаться минимальным значением. Затем, после выделения `8/5`, получили выражение `(10b^2-16b^2c+20bc-16bc^2+2c^2)/(c(2b^2+2bc+c))`, которое не отрицательно при `0<a,b,c<=1`. Значит наше предположение верно и `8/5` действительно является минимальным значением. Такие у Вас были изначально рассуждения? Да, всё так.
|
|
|
|
|
hpbhpb
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 15:49 |
|
Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49 Сообщений: 2037 Откуда: Ставрополь
|
Logarifm2-8-3 писал(а): Меня ещё смущает то, что при `b=c=1`, числитель дроби принимает наибольшее значение. В дроби `(2(b+c)^2)/(c(2b^2+2bc+c))` степень полинома, находящегося в числителе, меньше степени полинома, находящегося в знаменателе, причём коэффициенты при наибольших степенях положительные. Поэтому вполне логично предположение, что дробь будет принимать наименьшее значение при максимально возможных значениях `b` и `c`.
|
|
|
|
|
Logarifm2-8-3
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 04 июл 2023, 15:52 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2023, 19:44 Сообщений: 50
|
|
|
|
|
OlG
|
Заголовок сообщения: Re: ДВИ 2023 (репетиционный) Добавлено: 07 июл 2023, 16:09 |
|
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
|
Logarifm2-8-3 писал(а): Доброго дня. Подскажите, пожалуйста, идею решения задачи. Первое решение:
_________________ Никуда не тороплюсь!
|
|
|
|
|
|
|
|