Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Задача с параметром
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=16109
Страница 1 из 2

Автор:  nina216 [ 06 июл 2018, 18:19 ]
Заголовок сообщения:  Задача с параметром

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить следующий параметр.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение на отрезке `[-3; 1]` имеет нечетное число различных корней.
`(a-5x^2-cos(15pi*x/2))*sqrt(5+ax)=0`
Заранее спасибо!

Автор:  Kirill Kolokolcev [ 06 июл 2018, 23:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

nina216 писал(а):
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить следующий параметр.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение на отрезке `[-3; 1]` имеет нечетное число различных корней.
`(a-5x^2-cos(15pi*x/2))*sqrt(5+ax)=0`
Заранее спасибо!

Исходное уравнение равносильно совокупности
`[({(a-5x^2-cos(15pi*x/2)=0),(5+ax\ge0):}),(5+ax=0):}`
Рассмотрим систему из совокупности. Из ее первого уравнения выражаем `a` и подставляем в неравенство:
`5+5x^3+xcos(15pi*x/2)\ge0`
Отсюда находим `x\ge-1`. Таким образом, нужно найти такие значения `a`, при которых совокупность
`[({(a=5x^2+cos(15pi*x/2)),(x\in[-1; 1]):}),({(5+ax=0),(x\in[-3; 1]):}):}`
имеет нечетное число решений.
Первая система будет давать всегда четное число решений при всех `a\ne1`. Осталось исследовать на количество решений вторую систему совокупности.
Так как `a=0` не является ее решением, перепишем ее в виде
`{(x=-5/a),(x\in[-3; 1]):}`
Данная система будет давать всегда единственное решение при `a\in(-oo; -5]\cup[5/3;+oo)`

Осталось рассмотреть случай, когда обе эти системы имеют общее решение. Это оставляю Вам.
У меня получился в итоге ответ: `(-oo; -5]\cup\{1\}\cup[5/3; 5)\cup(5; +oo)`.

Автор:  nina216 [ 07 июл 2018, 10:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

Kirill Kolokolcev писал(а):
nina216 писал(а):
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить следующий параметр.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение на отрезке `[-3; 1]` имеет нечетное число различных корней.
`(a-5x^2-cos(15pi*x/2))*sqrt(5+ax)=0`
Заранее спасибо!

Исходное уравнение равносильно совокупности
`[({(a-5x^2-cos(15pi*x/2)=0),(5+ax\ge0):}),(5+ax=0):}`
Рассмотрим систему из совокупности. Из ее первого уравнения выражаем `a` и подставляем в неравенство:
`5+5x^3+xcos(15pi*x/2)\ge0`
Отсюда находим `x\ge-1`. Таким образом, нужно найти такие значения `a`, при которых совокупность
`[({(a=5x^2+cos(15pi*x/2)),(x\in[-1; 1]):}),({(5+ax=0),(x\in[-3; 1]):}):}`
имеет нечетное число решений.
Первая система будет давать всегда четное число решений при всех `a\ne1`. Осталось исследовать на количество решений вторую систему совокупности.
Так как `a=0` не является ее решением, перепишем ее в виде
`{(x=-5/a),(x\in[-3; 1]):}`
Данная система будет давать всегда единственное решение при `a\in(-oo; -5]\cup[5/3;+oo)`

Осталось рассмотреть случай, когда обе эти системы имеют общее решение. Это оставляю Вам.
У меня получился в итоге ответ: `(-oo; -5]\cup\{1\}\cup[5/3; 5)\cup(5; +oo)`.


Спасибо!

Автор:  nina216 [ 08 июл 2018, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

Уважаемые преподаватели, прощу прощения за назойливость, но если не затруднит, подскажите, пожалуйста, идею решения следующей задачи (кроме выполнения очевидных преобразований второго уравнения системы, к сожалению, не могу продвинуться дальше).

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система имеет нечетное число решений
`cos(y-6)-2cos(x)=0`
`log_2(ay-y^2)=2log_4(-x)-log_(1/2)(3y)`

Автор:  OlG [ 09 июл 2018, 03:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

nina216 писал(а):
Подробности:
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить следующий параметр.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение на отрезке `[-3; 1]` имеет нечетное число различных корней.
`(a-5x^2-cos(15pi*x/2))*sqrt(5+ax)=0`
Заранее спасибо!

nina216 писал(а):
Подробности:
Уважаемые преподаватели, прощу прощения за назойливость, но если не затруднит, подскажите, пожалуйста, идею решения следующей задачи (кроме выполнения очевидных преобразований второго уравнения системы, к сожалению, не могу продвинуться дальше).

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система имеет нечетное число решений
`cos(y-6)-2cos(x)=0`
`log_2(ay-y^2)=2log_4(-x)-log_(1/2)(3y)`

1. Поделитесь, пожалуйста, источником обоих этих примеров с параметром. Если
возможно приведите ссылку на примеры и разместите в теме скан источника этих
и подобных примеров с параметром.

Автор:  OlG [ 09 июл 2018, 03:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

nina216 писал(а):
Подробности:
Уважаемые преподаватели, прощу прощения за назойливость, но если не затруднит, подскажите, пожалуйста, идею решения следующей задачи (кроме выполнения очевидных преобразований второго уравнения системы, к сожалению, не могу продвинуться дальше).

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система имеет нечетное число решений
`cos(y-6)-2cos(x)=0`
`log_2(ay-y^2)=2log_4(-x)-log_(1/2)(3y)`

2. `(arccos(( cos 6)/2)+6pik; quad 6+3 arccos((sqrt(10))/8)-arccos((sqrt(10))/4)-2pi+6pik) cup`

`cup ( 6+3 arccos((sqrt(10))/8)-arccos((sqrt(10))/4)-2pi+6pik; quad 6-3 arccos((sqrt(10))/8)+arccos((sqrt(10))/4)+6pik) cup`

`cup ( 6-3 arccos((sqrt(10))/8)+arccos((sqrt(10))/4)+6pik; quad 6pi-arccos(( cos 6)/2)+6pik], quad k in NN_(0).`

Автор:  nina216 [ 09 июл 2018, 07:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

OlG писал(а):
nina216 писал(а):
Подробности:
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как решить следующий параметр.
Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение на отрезке `[-3; 1]` имеет нечетное число различных корней.
`(a-5x^2-cos(15pi*x/2))*sqrt(5+ax)=0`
Заранее спасибо!

nina216 писал(а):
Подробности:
Уважаемые преподаватели, прощу прощения за назойливость, но если не затруднит, подскажите, пожалуйста, идею решения следующей задачи (кроме выполнения очевидных преобразований второго уравнения системы, к сожалению, не могу продвинуться дальше).

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система имеет нечетное число решений
`cos(y-6)-2cos(x)=0`
`log_2(ay-y^2)=2log_4(-x)-log_(1/2)(3y)`

1. Поделитесь, пожалуйста, источником обоих этих примеров с параметром. Если
возможно приведите ссылку на примеры и разместите в теме скан источника этих
и подобных примеров с параметром.



Добрый день! Задачи взяты из книги "Конкурсные задачи по математике" авторов Потапова М.К., Олехника С.Н., Нестеренко Ю.В., 2003 г. (электронная версия книги доступна по ссылке http://www.alleng.ru/d/math/math270.htm ). Первая задача размещена на стр. 113 (пример № 459), вторая на стр. 273 (пример № 176).

Автор:  nina216 [ 09 июл 2018, 08:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

OlG писал(а):
nina216 писал(а):
Подробности:
Уважаемые преподаватели, прощу прощения за назойливость, но если не затруднит, подскажите, пожалуйста, идею решения следующей задачи (кроме выполнения очевидных преобразований второго уравнения системы, к сожалению, не могу продвинуться дальше).

Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых система имеет нечетное число решений
`cos(y-6)-2cos(x)=0`
`log_2(ay-y^2)=2log_4(-x)-log_(1/2)(3y)`

2. `(arccos(( cos 6)/2)+6pik; quad 6+3 arccos((sqrt(10))/8)-arccos((sqrt(10))/4)-2pi+6pik) cup`

`cup ( 6+3 arccos((sqrt(10))/8)-arccos((sqrt(10))/4)-2pi+6pik; quad 6-3 arccos((sqrt(10))/8)+arccos((sqrt(10))/4)+6pik) cup`

`cup ( 6-3 arccos((sqrt(10))/8)+arccos((sqrt(10))/4)+6pik; quad 6pi-arccos(( cos 6)/2)+6pik], quad k in NN_(0).`


Уважаемый OlG, большое спасибо за помощь! Подскажите, пожалуйста, с чего следует начать решение данной задачи? Насколько я поняла из приведенного Вами ответа к задаче, из первого уравнения системы нужно выразить `x`

Автор:  antonov_m_n [ 09 июл 2018, 09:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

В условии второго примера ошибка , это химфак МГУ 1975 , первое уравнение имеет вид :
`cos(y-a)-2cosx=0`

Автор:  nina216 [ 09 июл 2018, 10:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с параметром

antonov_m_n писал(а):
В условии второго примера ошибка , это химфак МГУ 1975 , первое уравнение имеет вид :
`cos(y-a)-2cosx=0`


Спасибо за уточнение! По всей видимости в книге допущена опечатка. В правильной редакции задача решается довольно просто.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/