Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 4 из 5 [ Сообщений: 44 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2018, 09:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 21 янв 2017, 13:12
Сообщений: 305
Откуда: Москва
nina216 писал(а):
Frostmourneee писал(а):
Надеюсь, хотя бы эта штука не окажется пустышкой/не покажется простой слишком. Решение к этому примерчику тоже есть, пока не смотрел.
`5(x-sqrt(x)-1)+(12(x-1)sqrt(x+1)-12sqrt(x(x^2-2x+2)))/sqrt(x^3-x^2+2)>=0`


На мой взгляд, задача несложная. Получила ответ: `x>=(3+sqrt(5))/2`

Да, Вы абсолютно правы! :ymapplause: Вы как решали, если не секрет?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2018, 14:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
Frostmourneee писал(а):
Надеюсь, хотя бы эта штука не окажется пустышкой/не покажется простой слишком. Решение к этому примерчику тоже есть, пока не смотрел.
`5(x-sqrt(x)-1)+(12(x-1)sqrt(x+1)-12sqrt(x(x^2-2x+2)))/sqrt(x^3-x^2+2)>=0`

nina216 писал(а):
На мой взгляд, задача несложная. Получила ответ: `x>=(3+sqrt(5))/2`

16. Категорически не согласен с nina216. Задача - не несложная, задача - простая
(решается либо устно, либо письменно в три короткие строчки).

а) `5^2+12^2=13^2`.

б) `{(0 le x lt 1),(x-sqrt(x)-1 lt 0),((x-1)sqrt(x+1)-sqrt(x(x^2-2x+2)) lt 0):} quad => quad 5(x-sqrt(x)-1)+(12(x-1)sqrt(x+1)-12sqrt(x(x^2-2x+2)))/sqrt(x^3-x^2+2) lt 0.`

в) `{(x ge 1),((x-1)sqrt(x+1)-sqrt(x(x^2-2x+2))=((x-sqrt(x)-1)(x+sqrt(x)-1))/(sqrt((x-1)^2(x+1))+sqrt(x(x^2-2x+2)))):} quad => quad {(x ge 1),((x-sqrt(x)-1)(5+(12(x+sqrt(x)-1))/((sqrt(x^3-x^2+2))(sqrt((x-1)^2(x+1))+sqrt(x(x^2-2x+2))))) ge 0):} quad iff quad`

`quad iff quad x>=(3+sqrt5)/2`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 24 июл 2018, 14:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 21 янв 2017, 13:12
Сообщений: 305
Откуда: Москва
Потрясающе!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 00:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
alex123 писал(а):
Ну так сотворите симпатичное зло сами :)


17. Симпатичное зло №1:

`quad {(x^2+y^2=4),((x+y)(1-xy)=sqrt2):} quad.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 00:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 21 янв 2017, 13:12
Сообщений: 305
Откуда: Москва
OlG писал(а):
alex123 писал(а):
Ну так сотворите симпатичное зло сами :)


17. Симпатичное зло №1:

`quad {(x^2+y^2=4),((x+y)(1-xy)=sqrt2):} quad.`

Так-так-так, что тут у нас? Ну смотрите, симметрические многочлены "кричат" о себе, нет гарантии, что они помогут, но так с первого взгляда :) А так это всё после сна :D


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 17:40 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 21 янв 2017, 13:12
Сообщений: 305
Откуда: Москва
OlG писал(а):
alex123 писал(а):
Ну так сотворите симпатичное зло сами :)


17. Симпатичное зло №1:

`quad {(x^2+y^2=4),((x+y)(1-xy)=sqrt2):} quad.`

В целом, да, самое главное здесь - заметить симметрические многочлены, хехе.
`a=2cos(2pi/9);` `b=2cos(8pi/9)` `c=2cos(14pi/9)`
`D(t)=(2-4t^3+8t^2-4t)/(t-1)^2`
Ответ:`(((sqrt2/(1-a)+sqrt(D(a)))/2);((sqrt2/(1-a)-sqrt(D(a)))/2));` `(((sqrt2/(1-a)-sqrt(D(a)))/2);((sqrt2/(1-a)+sqrt(D(a)))/2));` `(((sqrt2/(1-b)+sqrt(D(b)))/2);((sqrt2/(1-b)-sqrt(D(b)))/2));` `(((sqrt2/(1-b)-sqrt(D(b)))/2);((sqrt2/(1-a)+sqrt(D(b)))/2));` `(((sqrt2/(1-c)+sqrt(D(c)))/2);((sqrt2/(1-c)-sqrt(D(c)))/2));` `(((sqrt2/(1-c)-sqrt(D(c)))/2);((sqrt2/(1-c)+sqrt(D(c)))/2))`
Решал долго и скучно, уважаемый OIG, у этой системы наверняка ведь есть какой-то изящный метод решения? (Upd. Кирилл своим решением ответил на этот вопрос)


Последний раз редактировалось Frostmourneee 25 июл 2018, 18:11, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 17:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 931
Откуда: Казань
`(2cos(pi/(36)), \ 2sin(pi/(36))),\ (2sin(pi/(36)), \ 2cos(pi/(36))),`

`(2cos((7pi)/(36)), \ -2sin((7pi)/(36))),\ (-2sin((7pi)/(36)), \ 2cos((7pi)/(36))),`

`(-2cos((5pi)/(36)), \ -2sin((5pi)/(36))),\ (-2sin((5pi)/(36)), \ -2cos((5pi)/(36))).`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 17:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
OlG писал(а):
alex123 писал(а):
Ну так сотворите симпатичное зло сами :)


17. Симпатичное зло №1:

`quad {(x^2+y^2=4),((x+y)(1-xy)=sqrt2):} quad.`

`x=2\sin\alpha`, `y=2\cos\alpha`, `\alpha\in[0; 2\pi)`
Второе уравнение после такой замены принимает вид
`2(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-2\sin2\alpha)=\sqrt2`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)(1-2\sin2\alpha)=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-4\sin(\alpha+\frac{\pi}4)\sin2\alpha=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-2\cos(\alpha-\frac{\pi}4)+2\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1`
`\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1/2`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 17:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 931
Откуда: Казань
Kirill Kolokolcev писал(а):
OlG писал(а):
alex123 писал(а):
Ну так сотворите симпатичное зло сами :)


17. Симпатичное зло №1:

`quad {(x^2+y^2=4),((x+y)(1-xy)=sqrt2):} quad.`

`x=2\sin\alpha`, `y=2\cos\alpha`, `\alpha\in[0; 2\pi)`
Второе уравнение после такой замены принимает вид
`2(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-2\sin2\alpha)=\sqrt2`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)(1-2\sin2\alpha)=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-4\sin(\alpha+\frac{\pi}4)\sin2\alpha=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-2\cos(\alpha-\frac{\pi}4)+2\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1`
`\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1/2`

:obscene-drinkingcheers:


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Попалось интересное уравнение
 Сообщение Добавлено: 25 июл 2018, 17:59 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 21 янв 2017, 13:12
Сообщений: 305
Откуда: Москва
Kirill Kolokolcev писал(а):
`2(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-2\sin2\alpha)=\sqrt2`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)(1-2\sin2\alpha)=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-4\sin(\alpha+\frac{\pi}4)\sin2\alpha=1`
`2\sin(\alpha+\frac{\pi}4)-2\cos(\alpha-\frac{\pi}4)+2\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1`
`\cos(3\alpha+\frac{\pi}4)=1/2`

Эх... :-bd Кирилл, у Вас намного более рациональное и красивое решение, нежели чем у меня :)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 4 из 5 [ Сообщений: 44 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: