Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи: В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.
Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи: В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.
Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.
Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.
2. Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что
Потрясающе! Огромное Вам спасибо, глубокоуважаемый OlG! К счастью, я смогла решить задачу, достроив тетраэдр до прямоугольного параллелепипеда. Решение получилось очень некрасивым, но ответ получился верным.
OlG писал(а):
Подробности:
nina216 писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Прошу вашей помощи по решению следующей задачи: В пирамиде `SABC` суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами `SB` и `AC` равна `arcccos(-1/3)`, радиус вписанной в пирамиду сферы равен `sqrt(3/13)` и `SA^2+SC^2=12`. Найти объем пирамиды `SABC`, если известно, что он не превосходит `5/3`.
Легко доказывается, что противоположные ребра тетраэдра попарно равны, а грани равновелики. Далее я достроила тетраэдр до четырехугольной пирамиды `SABCD` (основание - параллелограмм `ABCD`), установила перпендикулярность прямых `BC` и `SD` и попыталась составить уравнение, выразив объем пирамиды двумя способами (через радиус вписанной сферы, а также через расстояние и угол между прямыми `SB` и `AC`). К сожалению, ничего не получилось. Не понимаю, как использовать условие задачи о том, что `SA^2+SC^2=12`.
Подробности:
nina216 писал(а):
Нашла такое решение: достроила тетраэдр до параллелепипеда, проведя через каждое ребро плоскость, параллельную противоположному ребру. Очевидно, что параллелепипед будет прямоугольным (поскольку противоположные ребра равны). Далее обозначила длину одного из ребер параллелепипеда за `x` и, используя данные задачи, выразила через `x` объемы пяти пирамид, из которых составлен параллелепипед.
2. Проведем через точки `A, quad B, quad C qquad B_(1)C_(1) parallel BC, quad A_(1)C_(1) parallel AC, quad A_(1)B_(1) parallel AB quad` соответственно. Получаем, что
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения