Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 13:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 22 май 2013, 15:42
Сообщений: 1852
Добрый день! Одногруппник попросил помочь, но я не смог. Стало интересно, как разрешить следующую задачку.

Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ?

Правильно ли я понимаю, что нужно найти сумму ряда `sum_1^(infty) x^(2n)-n` ? Если да, то как это вообще делается?

Вообще изначально задание такое: `lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)`. Но чтобы найти предел, нужно как-то преобразовать числитель...


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 14:03 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5745
Откуда: Москва
Подробности:
bruno96 писал(а):
Добрый день! Одногруппник попросил помочь, но я не смог. Стало интересно, как разрешить следующую задачку.

Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ?

Правильно ли я понимаю, что нужно найти сумму ряда `sum_1^(infty) x^(2n)-n` ? Если да, то как это вообще делается?

Вообще изначально задание такое: `lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)`. Но чтобы найти предел, нужно как-то преобразовать числитель...

1. `lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)=(n(n+1))/2.` Предел - устный.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 14:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5745
Откуда: Москва
2. `lim_(x->1) ((x^2-1)+((x^2)^2-1^2)+((x^2)^3-1^3)+...+((x^2)^n-1^n))/(x^2-1)=1+2+3+...+n=(n(n+1))/2.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 18:29 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 22 май 2013, 15:42
Сообщений: 1852
Фантастика!!!

Вот это поворот. Спасибо Вам @};-

А все-таки, как можно сделать переход, которые я указал выше? Вычислить сумму ряда.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 20:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4917
Откуда: Санкт-Петербург
bruno96 писал(а):
Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ?
А все-таки, как можно сделать переход, которые я указал выше? Вычислить сумму ряда.

Никак. При х=0 выражения не совпадают.
Чтобы вычислить конечную сумму надо воспользоваться геометрической прогрессией с `q=x^2` и `b_1=x^2` и числом членов n.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 14 авг 2018, 00:22, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 21:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5745
Откуда: Москва
3. Или так (не устно):

`qquad lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)=lim_(x->1) (x^2(x^2-1)(1+x^2+x^4+...+x^(2n-2))-(x^2-1)n)/(x^2-1)^2=lim_(x->1) (x^(2n+2)-x^2(n+1)+n)/(x^2-1)^2=`


`qquad=lim_(x->1) ((2n+2)x^(2n+1)-2x(n+1))/(4x(x^2-1))=lim_(x->1) ((2n+2)(2n+1)x^(2n)-2(n+1))/(12x-4)=lim_(x->1) ((n+1)(2n+1)x^(2n)-(n+1))/(6x-2)=(n(n+1))/2.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 13 авг 2018, 23:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 641
bruno96 писал(а):
Добрый день! Одногруппник попросил помочь, но я не смог. Стало интересно, как разрешить следующую задачку.

Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ?

Правильно ли я понимаю, что нужно найти сумму ряда `sum_1^(infty) x^(2n)-n` ? Если да, то как это вообще делается?

Вообще изначально задание такое: `lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)`. Но чтобы найти предел, нужно как-то преобразовать числитель...


bruno96 Здесь натуральное число `n` является заданным параметром и нет никакого ряда.

Можно сначала найти для любого `k\in NN` предел `lim_(x->1)\frac{x^k-1}{x^2-1}=lim_(x->1)\frac{(x-1)(x^{k-1}+x^{k-2}+\dots+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{k}{2}`, а затем вычислить `\frac{2+4+\dots+2n}{2}=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}`.

Правило Лопиталя позволяет обойтись без разложения `x^k-1` на множители, но обычно такие пределы предлагаются задолго до изучения свойств дифференцируемых функций.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 14 авг 2018, 00:35 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5745
Откуда: Москва
4. Женя поступил в ВУЗ четыре года назад. Второй способ решения
привел зная, что Женя знаком с правилом Лопиталя.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: 14 дек 2018, 22:49 
Не в сети

Зарегистрирован: 01 авг 2018, 15:46
Сообщений: 26
Добрый день. Скажите, пожалуйста, будет ли правомерно доказать сходимость следующего знакочередующегося ряда таким способом (избегая признак Д’Аламбера)?
Привести данную последовательность к виду геометрической последовательности, выделить знаменатель прогрессии, и так как он меньше единицы, то соответственно ряд сходится.


Вложения:
сумма.jpg
сумма.jpg [ 8.54 KIB | Просмотров: 64 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
 Сообщение Добавлено: Вчера, 02:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 июн 2016, 12:25
Сообщений: 1731
Откуда: Москва
правомерно , только избежать вы хотели вероятно признак Лейбница ( ряд знакопеременный ) , хотя и он не нужен : ряд сходится абсолютно

_________________
Чтобы добраться до источника, надо плыть против течения.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ] На страницу 1, 2  След.




Список форумов » Просмотр темы - Сумма ряда


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot], katena_BES и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: