Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
bruno96 писал(а):
Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ? А все-таки, как можно сделать переход, которые я указал выше? Вычислить сумму ряда.
Никак. При х=0 выражения не совпадают. Чтобы вычислить конечную сумму надо воспользоваться геометрической прогрессией с `q=x^2` и `b_1=x^2` и числом членов n.
_________________ Сопротивление бесполезно.
Последний раз редактировалось vyv2 14 авг 2018, 00:22, всего редактировалось 1 раз.
Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28 Сообщений: 649
bruno96 писал(а):
Добрый день! Одногруппник попросил помочь, но я не смог. Стало интересно, как разрешить следующую задачку.
Есть выражение `x^2+x^4+...+x^(2n)-n`. Как получить из него `((x^2-n)*(n+2x^2+1))/(2(x^2+1))` ?
Правильно ли я понимаю, что нужно найти сумму ряда `sum_1^(infty) x^(2n)-n` ? Если да, то как это вообще делается?
Вообще изначально задание такое: `lim_(x->1) (x^2+x^4+...+x^(2n)-n)/(x^2-1)`. Но чтобы найти предел, нужно как-то преобразовать числитель...
bruno96 Здесь натуральное число `n` является заданным параметром и нет никакого ряда.
Можно сначала найти для любого `k\in NN` предел `lim_(x->1)\frac{x^k-1}{x^2-1}=lim_(x->1)\frac{(x-1)(x^{k-1}+x^{k-2}+\dots+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{k}{2}`, а затем вычислить `\frac{2+4+\dots+2n}{2}=1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}`.
Правило Лопиталя позволяет обойтись без разложения `x^k-1` на множители, но обычно такие пределы предлагаются задолго до изучения свойств дифференцируемых функций.
Добрый день. Скажите, пожалуйста, будет ли правомерно доказать сходимость следующего знакочередующегося ряда таким способом (избегая признак Д’Аламбера)? Привести данную последовательность к виду геометрической последовательности, выделить знаменатель прогрессии, и так как он меньше единицы, то соответственно ряд сходится.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения