Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 02:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
Дорогие форумчане, помогите :ymhug:. На днях столкнулся со следующей задачей.
Пункты а) и б) не вызвали затруднений, а вот пункт в) загнал в тупик и к колоссальным выкладкам.
Помогите дойти до простого и лаконичного решения.

Конечная последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n$ состоит из $n\ge3$ не обязательно различных натуральных чисел,
причем при всех натуральных $k\le n-2$ выполнено равенство $a_{k+2}=2a_{k+1}-a_k+1$.
а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$, в которой $a_5=1$.
б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_9=a_{27}$?
в) При каком наибольшем $n$ такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих $150$?

Ответ в книге такой
Подробности:
`34`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 11:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1691
Посмотрите на первую разность этой последовательности, `{a_(n+1)-a_n}`.
Она имеет простой вид `{b_1, b_1+1, b_1+2, b_1+3,.....}`

Теперь понятно, что последовательность должна быть немонотонной - сначала убывать, потом возрастать. Причем смена монотонности должна быть примерно посередине.

Ну а дальше 1+2+3+....<=150 --> n<=17. А нас устраивает вдвое больше - мы этот путь туда сюда дважды пройти можем.

Все это идея, записывать нужно аккуратней.

На всякий случай: `a_n=a+bn+n(n+1)/2`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 11:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
alex123 писал(а):
Посмотрите на первую разность этой последовательности, `{a_(n+1)-a_n}`.
Она имеет простой вид `{b_1, b_1+1, b_1+2, b_1+3,.....}`

Теперь понятно, что последовательность должна быть немонотонной - сначала убывать, потом возрастать. Причем смена монотонности должна быть примерно посередине.

Ну а дальше 1+2+3+....<=150 --> n<=17. А нас устраивает вдвое больше - мы этот путь туда сюда дважды пройти можем.

Все это идея, записывать нужно аккуратней.

На всякий случай: `a_n=a+bn+n(n+1)/2`.

Я так и рассуждал, вот как бы аккуратнее записать..и почему вот например будет именно 34, а не 33 скажем?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 14:43 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Я так и рассуждал, вот как бы аккуратнее записать..и почему вот например будет именно 34, а не 33 скажем?

1.

а) `a_(k)=(k^2)/2-(a_(1)+3/2-a_(2))k+2a_(1)-a_(2)+1.`

б) `a_1=150.`

в) `k_(max)=153,5-a_(2).`

г) `a_(k_(max)) ge 1 quad => quad (301-2sqrt(298))/2 le a_(2) le (301+2sqrt(298))/2.`

д) `a_(2)=134, quad k_(max)=17,5, quad 2k_(max)-1=34`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 14:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
OlG писал(а):
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Я так и рассуждал, вот как бы аккуратнее записать..и почему вот например будет именно 34, а не 33 скажем?

1.

а) `a_(k)=(k^2)/2-(a_(1)+3/2-a_(2))k+2a_(1)-a_(2)+1.`

б) `a_1=150.`

в) `k_(max)=153,5-a_(2).`

г) `a_(k_(max)) ge 1 quad => quad (301-2sqrt(298))/2 le a_(2) le (301+2sqrt(298))/2.`

д) `a_(2)=134, quad k_(max)=17,5, quad 2k_(max)-1=34`.


Уважаемый OlG, я тоже пытался через общую формулу, но почему мы берем `a_1=150`?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 14:53 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Уважаемый OlG, я тоже пытался через общую формулу, но почему мы берем `a_1=150`?

2. `k_(max)=a_(1)+3/2-a_(2), quad` тем больше, чем больше `a_(1)` и меньше `a_(2)` .

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 15:27 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
А такое рассуждение зачли бы? И достаточно ли ограничиться только этим или еще нужен сам пример последовательности?

Заметим, что последовательность сначала убывает, а после, начиная с некоторого номера, возможно возрастает. Поэтому, чтобы последовательность состояла из наибольшего числа членов, необходимо, что $a_1=150$. Далее найдем, сколько членов может содержать убывающая часть этой последовательности:
$$150-1, 150-1-2, \ldots, 150-1-2-\ldots-n=150-\frac{n(n+1)}2.$$ Для этого наименьший член последовательности должен быть не меньше 1, т. е. $n(n+1)\le298$, откуда $n\le16$. Таким образом, убывающая часть последовательности содержит не более 17 членов. Аналогично, возрастающая часть содержит не более 17. Следовательно, наибольшее число членов данной последовательности равно 34.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 15:38 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
3. Вывод формулы общего члена последовательности:

`a_(k)-a_(1)=sum_(i=1)^(k-1) (a_(i+1)-a_(i))=sum_(i=1)^(k-1) b_(i)=(2b_1+1*(k-2))/2*(k-1)=((k-2)(k-1))/2+(a_(2)-a_(1))(k-1)=(k^2)/2-(a_(1)+3/2-a_(2))k+a_(1)-a_(2)+1.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 15:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 5701
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
А такое рассуждение зачли бы? И достаточно ли ограничиться только этим или еще нужен сам пример последовательности?

Заметим, что последовательность сначала убывает, а после, начиная с некоторого номера, возможно возрастает. Поэтому, чтобы последовательность состояла из наибольшего числа членов, необходимо, что $a_1=150$. Далее найдем, сколько членов может содержать убывающая часть этой последовательности:
$$150-1, 150-1-2, \ldots, 150-1-2-\ldots-n=150-\frac{n(n+1)}2.$$ Для этого наименьший член последовательности должен быть не меньше 1, т. е. $n(n+1)\le298$, откуда $n\le16$. Таким образом, убывающая часть последовательности содержит не более 17 членов. Аналогично, возрастающая часть содержит не более 17. Следовательно, наибольшее число членов данной последовательности равно 34.

4.

а) Зачтут.

б) Последовательность в ходе решения практически выводится.
Можно и фактически привести - хуже не будет.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача №19 из ЕГЭ
 Сообщение Добавлено: 25 авг 2018, 15:41 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 858
Откуда: Москва
OlG и alex123, спасибо вам большое! :obscene-drinkingcheers:


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: