Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на условный экстремум
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2018, 00:08 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 май 2018, 23:27
Сообщений: 58
Откуда: Москва
Добрый вечер!
При нахождении условного экстремума функции `f(x,y)=3x-6y` при условии `y^2 - xy - 1 = 0`
возникла проблема в полученном результате. У меня получается, что точка `(0,1)` - точка условного максимума, а точка `(0,-1)` - точка условного минимума. Тогда `f(0,1) = -6`, а `f(0,-1) = 6` , т.е. минимум больше максимума, чего быть не может. Прилагаю решение, уже сколько сижу и не могу найти место, где я вру. Спасибо заранее.
P.S. Делаю ознакомительную практику в матпакете, но сначала решил сделать вручную, чтобы потом себя проверять, а тут такая ситуация.
1) Составляем функцию Лагранжа `L(x,y) = 3x - 6y + lambda(y^2-xy-1)`
Составляем систему уравнений : `{L_x = 0 , L_y = 0, y^2-xy-1=0}`
Получаю два решения: ` x = 0 , y = 1 , lambda = 3` , `x = 0, y=-1`,` lambda = -3`
2) Определяем характер точек условного экстремума по знаку второго дифференциала функции Лагранжа:
`d^2 L = L_(x x) dx^2 + 2L_(xy) dxdy + L_(yy) dy^2 = -2lambda dxdy + 2lambda dy^2`
Воспользуемся также тем, что `d(y^2 - xy - 1)=0`, откуда можно найти связь между `dx` и `dy`.
`2ydy - xdy-ydx=0 => dy = y/(2y-x) dx`
После подстановки в выражение для второго дифференциала для каждой точки получаем, что:
`A(0,1)`: `d^2 L < 0 ` => точка условного максимума
`B(0,-1)`: `d^2 L > 0` => точка условного минимума


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на условный экстремум
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2018, 13:43 
Не в сети

Зарегистрирован: 28 авг 2017, 11:23
Сообщений: 2
Скорее всего проблема в том, что условие разрывно при y=0. Поэтому сравнивать значение в максимуме и минимуме бессмысленно


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на условный экстремум
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2018, 14:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 04 мар 2011, 21:28
Сообщений: 647
Все функции в данной задаче класса `C^\infty`. Просто поверхность условия состоит из двух отдельных поверхностей и максимум целевой функции для одной из них меньше минимума для другой. Как, например, в случае двухполосного гиперболоида `z^2-x^2-y^2-1=0` и целевой функции `f(x,y,z)=z`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на условный экстремум
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2018, 15:14 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 май 2018, 23:27
Сообщений: 58
Откуда: Москва
Спасибо большое! Теперь стало все на свои места!!!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: