Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу 1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2012, 18:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 13:36
Сообщений: 293
`{(x^4+x^2y^2+y^4=a^2),(x^2+xy+y^2=1):}`
Найти `x` и `y`.
Свое решение выложу чуть позже.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2012, 22:45 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 13:36
Сообщений: 293
Никому не интересно походу :)
Мое решение:
Подробности:
Рассмотрим второе уравнение: `x^2+y^2+xy=1`
Преобразуем его
`(x+y)^2-2xy+xy=1`
`(x+y)^2-xy=1`

Теперь рассмотрим первое уравние: `x^4+y^4+x^2y^2=a^2`
`(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+x^2y^2=a^2`
`((x+y)^2-2xy)^2-x^2y^2=a^2`

Сделаем замену:
`m=x+y`
`n=xy`
Тогда система преобразуется к следующему виду:
`{(m^2-n=1),((m^2-2n)^2-n^2=a^2):}`
`{(m^2=n+1),(m^4-4m^2n+3n^2=a^2):}`
`(n+1)^2-4(n+1)n+3n^2=a^2`
`n^2+2n+1-4n^2-4n+3n^2=a^2`
`-2n+1=a^2`
`n=(1-a^2)/2`
Тогда
`m^2=(1-a^2)/2+1=(3-a^2)/2`
`m=+-sqrt((3-a^2)/2)`

Получается совокупность:
`[({(x+y=sqrt((3-a^2)/2)),(xy=(1-a^2)/2):}),({(x+y=-sqrt((3-a^2)/2)),(xy=(1-a^2)/2):}):}`

Решим первую систему уравнений:
`x=sqrt((3-a^2)/2)-y`
`(sqrt((3-a^2)/2)-y)y=(1-a^2)/2`
`y^2-sqrt((3-a^2)/2)*y+(1-a^2)/2=0`
`D=(3-a^2)/2-2(1-a^2)=(3a^2-1)/2`
`y=sqrt((3-a^2)/8)+-sqrt((3a^2-1)/8)`
Тогда
`y_1=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_1=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`y_2=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_2=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

Решим вторую систему уравнений:
`x=-sqrt((3-a^2)/2)-y`
`(-sqrt((3-a^2)/2)-y)y=(1-a^2)/2`
`y^2+sqrt((3-a^2)/2)*y+(1-a^2)/2=0`
`D=(3-a^2)/2-2(1-a^2)=(3a^2-1)/2`
`y=-sqrt((3-a^2)/8)+-sqrt((3a^2-1)/8)`
Тогда
`y_3=-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_3=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)+sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)=3sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`y_4=-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_4=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)+sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)=3sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

Итого ответ:
`x_1=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_1=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_2=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_2=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_3=3sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_3=-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_4=3sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_4=-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`


Надеюсь не опечатался/ не ошибся нигде
Странно, моя программа для символьной математики, выдает другой ответ, более страшный, однако если подставить вместо `a` конкретные числа, то вроде сходится.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2012, 23:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 янв 2012, 16:58
Сообщений: 49
Молодец, красиво! А мне не поможешь решать одну вещь. Нужно определить, при каких значениях `t` данное выражение будет являться целым числом `(8 + 9t) / (-62 - 70t)`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 08 авг 2012, 23:39 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 13:36
Сообщений: 293
Vlad001 писал(а):
Молодец, красиво! А мне не поможешь решать одну вещь. Нужно определить, при каких значениях `t` данное выражение будет являться целым числом `(8 + 9t) / (-62 - 70t)`

знак можно выкинуть получим
`(8+9t)/(70t+62)`
Отсюда видно что при любых `t>1` это число целым не будет.
поделим столбиком и получим
`1/(70(35t+31))+9/70`
Целым это число будет тогда когда левая его часть будет равна `61/70+k` где `k` любое целое число.
Таким образом:
`1/(70(35t+31))=(61+70k)/70`
`1/(35t+31)=61+70k`
`t=-2(31k + 27)/(70k + 61)`
Подставьте найденое `t` в исходное число, получите `k+1` т.е. всегда целое число будет.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 00:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 05 янв 2012, 16:58
Сообщений: 49
Понял, спасибо большое! Это я экспериментировал с уравнением `1400*x + 180*y = 40`. Хотел определить, существуют ли такие целые решения `x` и `y`, что `y` является делителем `x`. Уже нашёл общее целочисленное решение:
`{x = 8 + 9*t`
`{y = -62 - 70*t`, где `t` — произвольное целое число.

Вот и определял, при каких значениях `t` выражение `(8 + 9t) / (-62 - 70*t)` будет являться целым числом.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 00:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 13:36
Сообщений: 293
Vlad001 писал(а):
где `t` — произвольное целое число.

К сожалению целых `t` не будет :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 01:02 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Hellko
Я бы добавил при каких а какие ответы

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 02:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
Hellko писал(а):
Никому не интересно походу :)
Мое решение:
Подробности:
Рассмотрим второе уравнение: `x^2+y^2+xy=1`
Преобразуем его
`(x+y)^2-2xy+xy=1`
`(x+y)^2-xy=1`

Теперь рассмотрим первое уравние: `x^4+y^4+x^2y^2=a^2`
`(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+x^2y^2=a^2`
`((x+y)^2-2xy)^2-x^2y^2=a^2`

Сделаем замену:
`m=x+y`
`n=xy`
Тогда система преобразуется к следующему виду:
`{(m^2-n=1),((m^2-2n)^2-n^2=a^2):}`
`{(m^2=n+1),(m^4-4m^2n+3n^2=a^2):}`
`(n+1)^2-4(n+1)n+3n^2=a^2`
`n^2+2n+1-4n^2-4n+3n^2=a^2`
`-2n+1=a^2`
`n=(1-a^2)/2`
Тогда
`m^2=(1-a^2)/2+1=(3-a^2)/2`
`m=+-sqrt((3-a^2)/2)`

Получается совокупность:
`[({(x+y=sqrt((3-a^2)/2)),(xy=(1-a^2)/2):}),({(x+y=-sqrt((3-a^2)/2)),(xy=(1-a^2)/2):}):}`

Решим первую систему уравнений:
`x=sqrt((3-a^2)/2)-y`
`(sqrt((3-a^2)/2)-y)y=(1-a^2)/2`
`y^2-sqrt((3-a^2)/2)*y+(1-a^2)/2=0`
`D=(3-a^2)/2-2(1-a^2)=(3a^2-1)/2`
`y=sqrt((3-a^2)/8)+-sqrt((3a^2-1)/8)`
Тогда
`y_1=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_1=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`y_2=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_2=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

Решим вторую систему уравнений:
`x=-sqrt((3-a^2)/2)-y`
`(-sqrt((3-a^2)/2)-y)y=(1-a^2)/2`
`y^2+sqrt((3-a^2)/2)*y+(1-a^2)/2=0`
`D=(3-a^2)/2-2(1-a^2)=(3a^2-1)/2`
`y=-sqrt((3-a^2)/8)+-sqrt((3a^2-1)/8)`
Тогда
`y_3=-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_3=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)+sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)=3sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`y_4=-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`x_4=sqrt(4/4*(3-a^2)/2)+sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)=3sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

Итого ответ:
`x_1=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_1=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_2=sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_2=sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_3=3sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_3=-sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`

`x_4=3sqrt((3-a^2)/8)+sqrt((3a^2-1)/8)`
`y_4=-sqrt((3-a^2)/8)-sqrt((3a^2-1)/8)`


Надеюсь не опечатался/ не ошибся нигде
Странно, моя программа для символьной математики, выдает другой ответ, более страшный, однако если подставить вместо `a` конкретные числа, то вроде сходится.


Жуть!!!

Оба уравнения системы однородные. Делаем замену y=kx, из уравнения с единицей в правой части выражаем x^2 через k. Затем находим k(a) из квадратного уравнения. Все!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 09:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 15:36
Сообщений: 2678
Дойти до совокупности можно короче и без замены: `{(x^2+xy+y^2=1), ((x^2+xy+y^2)*(x^2-xy+y^2)=a^2):}` значит: `{(x^2+xy+y^2=1), (x^2-xy+y^2=a^2):}` ; `{(xy=(1-a^2)/2), ((x+y)^2=(3-a^2)/2):}`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Интересная системка #1
 Сообщение Добавлено: 09 авг 2012, 10:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 май 2012, 19:10
Сообщений: 1176
Uchitel писал(а):
Vlad001 писал(а):
Понял, спасибо большое! Это я экспериментировал с уравнением `1400*x + 180*y = 40`. Хотел определить, существуют ли такие целые решения `x` и `y`, что `y` является делителем `x`. Уже нашёл общее целочисленное решение:
`{x = 8 + 9*t`
`{y = -62 - 70*t`, где `t` — произвольное целое число.

Вот и определял, при каких значениях `t` выражение `(8 + 9t) / (-62 - 70*t)` будет являться целым числом.

Решение уравнения верное.
Привожу более подробное объяснение решения этого же уравнения в целых числах (см. вложение). Вдруг кому-то будет интересным(?).. Ответы равнозначные.

Спасибо!
Мне пригодилось!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу 1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: