Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
https://alexlarin.com/

Системы уравнений от OlG
https://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=6143
Страница 3 из 3

Автор:  vyv2 [ 13 июл 2016, 20:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

фыфы писал(а):
`{(x^5+xy^4=y^10+y^6),(x^6+x^2=8y^3+2y):}`
Система от OIG
Помогите решить

Ответ: `(0;0),(root(3)(4),root(3)(2))`

Автор:  OlG [ 13 июл 2016, 20:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

фыфы писал(а):
`{(x^5+xy^4=y^10+y^6),(x^6+x^2=8y^3+2y):}`
Система от OIG
Помогите решить

ТЫЦ1, ТЫЦ2, ТЫЦ3.

Автор:  NorbertFoster [ 28 июл 2021, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь :(
По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется.

Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой :(

Автор:  hpbhpb [ 28 июл 2021, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

NorbertFoster писал(а):
Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь :(
По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется.

Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой :(


Так вот же решение (сообщения от Марина и от OlG в самом низу)
viewtopic.php?f=21&t=2608&start=180

Автор:  OlG [ 28 июл 2021, 20:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

NorbertFoster писал(а):
Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь :(

Нажмите на ТЫЦ или на любое 8 в моем сообщении.

8. `quad {(3(x+1/x)=4(y+1/y)=5(z+1/z)),(xy+yz+zx=1):}`

Автор:  NorbertFoster [ 29 июл 2021, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

Огромное спасибо за ссылки, разобрался в решении. Кажется, я копал совсем не туда :(
До этого пробовал решать алгебраически, используя неравенство `\frac{a^2+1}{a}\ge 2` при `a\gt 0`, пришёл к искомым тройкам ответов, - но вот доказать, что кроме этих троек ответов нет, уже не вышло.

Автор:  nnosipov [ 04 авг 2021, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

OlG Встречалось ли Вам ранее уравнение типа $x^4+x^3+4x+1=0$ (здесь оба вещественных корня можно записать как трижды вложенные вещественные радикалы)? В известных мне задачниках по алгебре ничего подобного нет.

Автор:  OlG [ 06 авг 2021, 06:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

Подробности:
nnosipov писал(а):
OlG Встречалось ли Вам ранее уравнение типа $x^4+x^3+4x+1=0$ (здесь оба вещественных корня можно записать как трижды вложенные вещественные радикалы)? В известных мне задачниках по алгебре ничего подобного нет.

`qquad (a-8)^2-(4a+1)(a^2-4)=0`.

`qquad (2x^2+(1+sqrt(4*root(3)(17)+1))x+root(3)(17)-sqrt(root(3)(289)-4))(2x^2+(1-sqrt(4*root(3)(17)+1))x+root(3)(17)+sqrt(root(3)(289)-4))=0`.

Здравствуйте, nnosipov. Нет, подобные уравнения в задачниках для школьников не встречались.

Если бы встречались, то запомнил бы.

Автор:  nnosipov [ 06 авг 2021, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

OlG Спасибо!

Автор:  Shamil Nurkaev [ 21 окт 2021, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Системы уравнений от OlG

Автотесты #2

Страница 3 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/