Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач. https://alexlarin.com/ | |
Системы уравнений от OlG https://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=6143 |
Страница 3 из 3 |
Автор: | vyv2 [ 13 июл 2016, 20:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
фыфы писал(а): `{(x^5+xy^4=y^10+y^6),(x^6+x^2=8y^3+2y):}` Система от OIG Помогите решить Ответ: `(0;0),(root(3)(4),root(3)(2))` |
Автор: | OlG [ 13 июл 2016, 20:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
фыфы писал(а): `{(x^5+xy^4=y^10+y^6),(x^6+x^2=8y^3+2y):}` Система от OIG Помогите решить ТЫЦ1, ТЫЦ2, ТЫЦ3. |
Автор: | NorbertFoster [ 28 июл 2021, 10:20 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется. Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой |
Автор: | hpbhpb [ 28 июл 2021, 14:23 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
NorbertFoster писал(а): Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь По ссылке на решение лишь пару указаний на использование геометрии, но как-то она не очень используется. Я рассудил, что значения всех переменных в системе должны быть одного знака. Поэтому можно рассмотреть сначала вариант, когда они все положительны. В комментариях к решению говорилось о Пифагоре - насколько я понял, имеется в виду треугольник со сторонами 3, 4, 5, на что намекает первое уравнения системы. Поэтому пробовал рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами `a`, `b`, гипотенузой `c` и синусом острого угла `\sin\alpha = \frac{3}{5}`. Теоретически это должно было как-то привести к треугольнику со сторонами `3t`, `4t`, `5t` (если я верно понял, то подсказка намекала на это). Однако пришёл лишь к равенству `\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}`, откуда, в принципе, можно получить `4a=3b=\frac{12c}{5}` и обозначить `a=y+\frac{1}{y}`, `b=x+\frac{1}{x}`, `c=\frac{25}{12}(z+\frac{1}{z})`. Теоретически дальше, наверное, надо применять теорему Пифагора, но она не приведёт к использованию второго уравнения. Второе уравнение пригодилось бы при раскрытии скобок в выражении вроде такого: `(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2`, но треугольник с этим выражением никак не связывается. В общем, застрял с этой системой Так вот же решение (сообщения от Марина и от OlG в самом низу) viewtopic.php?f=21&t=2608&start=180 |
Автор: | OlG [ 28 июл 2021, 20:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
NorbertFoster писал(а): Всем добрый день! Подскажите, пожалуйста, как решить систему №8? Уже день мучаюсь Нажмите на ТЫЦ или на любое 8 в моем сообщении. 8. `quad {(3(x+1/x)=4(y+1/y)=5(z+1/z)),(xy+yz+zx=1):}` |
Автор: | NorbertFoster [ 29 июл 2021, 21:03 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
Огромное спасибо за ссылки, разобрался в решении. Кажется, я копал совсем не туда До этого пробовал решать алгебраически, используя неравенство `\frac{a^2+1}{a}\ge 2` при `a\gt 0`, пришёл к искомым тройкам ответов, - но вот доказать, что кроме этих троек ответов нет, уже не вышло. |
Автор: | nnosipov [ 04 авг 2021, 19:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
OlG Встречалось ли Вам ранее уравнение типа $x^4+x^3+4x+1=0$ (здесь оба вещественных корня можно записать как трижды вложенные вещественные радикалы)? В известных мне задачниках по алгебре ничего подобного нет. |
Автор: | OlG [ 06 авг 2021, 06:49 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
Подробности: `qquad (a-8)^2-(4a+1)(a^2-4)=0`. `qquad (2x^2+(1+sqrt(4*root(3)(17)+1))x+root(3)(17)-sqrt(root(3)(289)-4))(2x^2+(1-sqrt(4*root(3)(17)+1))x+root(3)(17)+sqrt(root(3)(289)-4))=0`. Здравствуйте, nnosipov. Нет, подобные уравнения в задачниках для школьников не встречались. Если бы встречались, то запомнил бы. |
Автор: | nnosipov [ 06 авг 2021, 19:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
OlG Спасибо! |
Автор: | Shamil Nurkaev [ 21 окт 2021, 23:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Системы уравнений от OlG |
Автотесты #2 |
Страница 3 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |