Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 7 из 7 [ Сообщений: 70 ] На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2013, 12:44 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
michel писал(а):
Нетрудно установить прямолинейным способом, составив систему `{(n^3-1=k*m),(m-1=l*n):}`, которая приводит к уравнению `(n-1)(n^2+n+1)=k*m`, что для любого `n>1` её решением всегда будет `m=n^2+n+1`. Другое решение `m=n^(3/2)+1` равносильно случаю `n^3=(m-1)^2<=>n^3-1=(m-2)m=(l*n-1)(l*n+1)=(l*n)^2-1<=>n^3=l^2n^2<=>n=l^2`, т.е. является дополнительным решением для случая, когда `n` является квадратом. Хотя могут быть и ещё другие решения задачи, но с формально логической точки зрения условие и требование задачи выполнены.

Так ведь задача состоит не в проверке того, что указанные значения $m$ годятся (это действительно банально), а в доказательстве того, что по-другому не бывает. Вот это-то как показать?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2013, 14:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36
Сообщений: 1072


Вложения:
ttt.pdf [38.06 KIB]
Скачиваний: 494
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2013, 14:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
Ischo_Tatiana, всё верно :) Это была задача М1787 из "Задачника Кванта", можете посмотреть оригинальное решение (Квант, 2002, № 2).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 30 сен 2013, 16:00 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
Раз дело снова двинулось и появились новые решатели, предлагаю обратить внимание на этот сюжет:

nnosipov писал(а):
Вот для разнообразия такая задача:

Существуют ли такие рациональные числа $a$, $b$ и $c$, что $a^2-b^2=2011=c^2-a^2$?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 13 апр 2014, 14:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
Вернёмся к старому сюжету. Вот очередной шедевр (или кризис жанра, уж не знаю :) ):

Натуральные числа $x$, $y$, $z$, $a$, $b$ таковы, что $x^2+ay^2+b=(ayz)^2$, причём $a>b$. Докажите, что $z=a-b$.

Прошу попробовать решить. Вдруг и здесь есть простое решение?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 08 май 2018, 08:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
Перенесу из темы viewtopic.php?f=8&t=15839 сюда.

Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что число $(xy+1)(xy+x+2)$ есть точный квадрат?

Это довольно свежая задача на старую тему, тем и интересна. Кстати, на dxdy приведено ошибочное решение (см. https://dxdy.ru/topic125871.html).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 19:48 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32
Сообщений: 496
Откуда: г. Октябрьск
nnosipov писал(а):
Раз дело снова двинулось и появились новые решатели, предлагаю обратить внимание на этот сюжет:

nnosipov писал(а):
Вот для разнообразия такая задача:

Существуют ли такие рациональные числа $a$, $b$ и $c$, что $a^2-b^2=2011=c^2-a^2$?


Для целых чисел решается быстро.

_________________
Ничего не понимаю!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 12 май 2018, 21:47 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
WWS писал(а):
Для целых чисел решается быстро.

Не просто быстро, а, я бы сказал, мгновенно: ведь $2011$ --- простое число, а всякое простое число единственным способом представляется в виде разности квадратов.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 13 май 2018, 15:27 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 27 дек 2015, 11:32
Сообщений: 496
Откуда: г. Октябрьск
nnosipov писал(а):
WWS писал(а):
Для целых чисел решается быстро.

Не просто быстро, а, я бы сказал, мгновенно: ведь $2011$ --- простое число, а всякое простое число единственным способом представляется в виде разности квадратов.

Да, задача устная и ответ - нет.
Пробовал воспользоваться этим результатом для решения Вашей задачи - но увы.

_________________
Ничего не понимаю!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 12 ноя 2018, 21:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 401
Очередная головоломка: решить уравнение $xy^3+y^2-x^5-1=0$ в натуральных числах.

Что-то мир обленился, совсем не хочет решать мои задачи: https://artofproblemsolving.com/communi ... 1p10860368 :)


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 7 из 7 [ Сообщений: 70 ] На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7




Список форумов » Просмотр темы - Головоломка


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 18

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: