Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 5 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 07:40 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1667
nnosipov писал(а):
michel писал(а):
Они взаимно простые в контексте условия задачи, когда их произведение является квадратом натурального числа!

И не просто квадратом какого-то натурального числа: из равенства $(y-z)(xy+xz+1)=w^2$ уже не следует взаимная простота чисел $y-z$ и $xy+xz+1$.

Не спорю, в контексте данной задачи `w^2=z^2` :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 10:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июн 2013, 15:41
Сообщений: 42
nnosipov писал(а):
michel писал(а):
Они взаимно простые в контексте условия задачи, когда их произведение является квадратом натурального числа!

И не просто квадратом какого-то натурального числа: из равенства $(y-z)(xy+xz+1)=w^2$ уже не следует взаимная простота чисел $y-z$ и $xy+xz+1$.


Спасибо еще раз, и "michel" спасибо (и извините, тормоз он и есть тормоз).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 13:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 394
Давайте для коллекции добавим и такую задачку.

Натуральные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$. Найдите $y-z$.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 17:08 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1667
С помощью очевидных рассуждений, аналогичных в предыдущей задаче, получаем `y-z=1`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 18:29 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 394
michel писал(а):
С помощью очевидных рассуждений, аналогичных в предыдущей задаче, получаем `y-z=1`

А как именно получаем? Предыдущая задача --- это про уравнение $(y-z)(xy+xz+1)=z^2$?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 19:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1667
nnosipov писал(а):
michel писал(а):
С помощью очевидных рассуждений, аналогичных в предыдущей задаче, получаем `y-z=1`

А как именно получаем? Предыдущая задача --- это про уравнение $(y-z)(xy+xz+1)=z^2$?

Из уравнения `(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2` следует `y-z` делитель правой части, тогда `x=k(y-z)`, откуда `(y-z)(k(y^2-z^2)+1)=(k+1)^2(y-z)^2`. Так как `y ne z`, можно сократить на `(y-z)` и приходим к уравнению `(y-z)((k+1)^2-k(y+z))=1`, откуда и следует `y-z=1` с подходящим случаем `y=2,z=1,k=1,x=1`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 19:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 394
michel писал(а):
Из уравнения `(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2` следует `y-z` делитель правой части, тогда `x=k(y-z)` ...

Да, $(x+y-z)^2$ делится на $y-z$, но откуда следует, что $x$ делится на $y-z$? Ваше "тогда" совсем не очевидно.

Кстати, для любых целых чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию задачи, равенство $y-z=1$ доказать не удастся (как, впрочем, и делимость $x$ на $y-z$).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 21:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1667
nnosipov писал(а):
Давайте для коллекции добавим и такую задачку.
Натуральные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$. Найдите $y-z$.

nnosipov писал(а):
michel писал(а):
Из уравнения `(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2` следует `y-z` делитель правой части, тогда `x=k(y-z)` ...

Да, $(x+y-z)^2$ делится на $y-z$, но откуда следует, что $x$ делится на $y-z$? Ваше "тогда" совсем не очевидно.

Кстати, для любых целых чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию задачи, равенство $y-z=1$ доказать не удастся (как, впрочем, и делимость $x$ на $y-z$).

Да, допустил промах, в общем случае следует `x^2=k(y-z)`, причем `k<=y-z`, иначе `y-z` делит `x` (этот частный случай как раз уже был рассмотрен выше). Подставим теперь `x^2=k(y-z)` в уравнение и опять сократим на `y-z` обе части, получим `x(y+z)+1=k+2x+(y-z)`, преобразуем: `x=(y-z+k-1)/(y+z-2)<=(2y-2z-1)/(y+z-2)<2`, отсюда видно, что `x` может принимать только одно единственное натуральное значение `x=1`, возвращаемся к `x^2=k(y-z)`, откуда следует `y-z=1`, как и раньше. Кстати, Вы в первоначальной формулировке задачи говорили только про натуральные числа `x,y,z` :(


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 сен 2013, 22:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 394
michel писал(а):
Да, допустил промах, в общем случае следует `x^2=k(y-z)`, причем `k<=y-z`, иначе `y-z` делит `x`

Другими словами, если $k=\frac{x^2}{y-z}>y-z$ (что равносильно неравенству $x>y-z$), то $x$ делится на $y-z$? Это опять не очевидно.
michel писал(а):
Кстати, Вы в первоначальной формулировке задачи говорили только про натуральные числа `x,y,z` :(

Конечно, про натуральные (для целых чисел задача малоинтересна). Поскольку в Вашей первой версии решения Вы нигде явно не использовали их натуральность, я и сделал то замечание.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 05 сен 2013, 17:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 394
Как я понимаю, халявное решение последней задачи что-то не находится. Как насчёт честного решения? На фоне предыдущих задач эта (кстати, придуманная совершенно случайно) не производит впечатления чего-то супер-нового.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 5 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.




Список форумов » Просмотр темы - Головоломка


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: