Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 07:13 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
Предлагаю любителям теории чисел поразмышлять на досуге над следующей задачей.

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что оба числа $xy+x$ и $xy+y$ являются точными квадратами. Докажите, что либо $x$ и $y+1$ взаимно просты, либо таковыми будут $y$ и $x+1$.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 09:24 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 июн 2010, 22:38
Сообщений: 2074
от противного?

_________________
Ум — это способность извлекать пользу из информации.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 09:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
nika писал(а):
от противного?

Попробуйте.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 09:37 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 июн 2010, 22:38
Сообщений: 2074
Если предположить, что х и у+1 не взаимно просты, то `x/(y+1)=k`
`y=x/k-1` ,подставляем во второй квадрат:
`x*(x/k-1)+(x/k-1)=(x/k-1)*(x+1)`
Так как,это квадрат, то: `x/k-1=x+1`
`x*(1-k)=2k`
Если к=1, то уравнение не имеет решения,
если `k>1` ,то х-не является натуральным числом, значит наше предположение неверно,
то есть х и у+1 просты.

Навскидку, где-то так получается.

_________________
Ум — это способность извлекать пользу из информации.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 09:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
nika писал(а):
Если предположить, что х и у+1 не взаимно просты, то `x/(y+1)=k`

Вы здесь $k$ считаете целым числом? Если так, то это нужно обосновать.

Но обосновать это не удастся, так как есть контрпример: $x=288$, $y=49$.


Последний раз редактировалось nnosipov 29 июн 2013, 13:34, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 10:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 15 июн 2010, 22:38
Сообщений: 2074
Если числа невзаимно просты, значит, они имеют общий делитель,отличный от единицы.Мы же говорим о натуральных числах? Значит и делители-натуральные.

_________________
Ум — это способность извлекать пользу из информации.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 июн 2013, 10:11 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
"Быть не взаимно простыми" --- это не значит "одно делится на другое". Иными словами, можно только утверждать, что дробь $\frac{x}{y+1}$ сократима.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2013, 04:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 393
Давайте немного упростим. Пусть будет так:

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что оба числа $xy+x$ и $xy+y$ являются точными квадратами. Докажите, что либо $x$ является точным квадратом, либо таковым будет $y$.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2013, 14:05 
Не в сети

Зарегистрирован: 19 июн 2013, 15:41
Сообщений: 42
nnosipov писал(а):
Давайте немного упростим. Пусть будет так:

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что оба числа $xy+x$ и $xy+y$ являются точными квадратами. Докажите, что либо $x$ является точным квадратом, либо таковым будет $y$.


Приложенное решение неверно, но все равно оставлю, может кому пригодится.


Вложения:
pelle.pdf [36.12 KIB]
Скачиваний: 1017


Последний раз редактировалось monmorancy 04 июл 2013, 10:08, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 02 июл 2013, 14:12 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 сен 2012, 12:40
Сообщений: 755
Откуда: Сибирь.
monmorancy Ваше решение.

pdfview -кнопочка. Скопируйте ссылку, выделите ссылку и на кнопочку жмите.
Нажмите цитировать, в правом нижнем углу. Посмотрите ,как я сделала.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.




Список форумов » Просмотр темы - Головоломка


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: