Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 6 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 06 сен 2013, 08:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1663
nnosipov писал(а):
Как я понимаю, халявное решение последней задачи что-то не находится. Как насчёт честного решения? На фоне предыдущих задач эта (кстати, придуманная совершенно случайно) не производит впечатления чего-то супер-нового.

Из Ваших комментариев я понял - надо доказать делимость `x` на `y-z`, исходя из натуральности `x,y,z`?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 06 сен 2013, 17:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
michel писал(а):
Из Ваших комментариев я понял - надо доказать делимость `x` на `y-z`, исходя из натуральности `x,y,z`?

Можно попытаться это доказать; фактически мы уже знаем, что делимость $x$ на $y-z$ равносильна равенству $y-z=1$ --- Вы это доказали. Но как малой кровью доказать эту делимость, я совершенно не не представляю. Быть может, есть ещё какой-нибудь обходной путь, приводящий к равенству $y-z=1$ --- в этом-то весь вопрос и состоит. Мне известен только стандартный способ доказательства подобных утверждений, но кто же откажется от халявы? :) Возможно, халявы здесь и нет в принципе, но в случае с уравнением $xy^2+y=(x+1)z^2+z$ мне тоже так казалось, и я оказался неправ.

Про стандартный способ я готов рассказать (вчера как раз заготовил все необходимые формулы), и обязательно расскажу, если кто-нибудь до меня об этом не напишет или иссякнут альтернативные идеи.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 14 сен 2013, 17:04 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
Ну что ж, давайте сначала продемонстрируем рабоче-крестьянское решение задачи про уравнение $xy^2 + y = (x + 1)z^2 + z$. Напомню, здесь требовалось доказать, что $y-z$ --- точный квадрат.

Пусть $Y=2xy+1$, $Z=2(x+1)z+1$, тогда $$(x+1)Y^2-xZ^2=1.$$ Все решения $(Y,Z)=(Y_k,Z_k)$ этого уравнения в натуральных числах даются формулой $$ Y_k\sqrt{x+1}+Z_k\sqrt{x}=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})^{2k+1}$$ или, в явном виде,
$$Y_k=\frac{\lambda^{2k+1}+\lambda^{-2k-1}}{\lambda+\lambda^{-1}}, \quad Z_k=\frac{\lambda^{2k+1}-\lambda^{-2k-1}}{\lambda-\lambda^{-1}},$$ где $\lambda=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$. Имеем $(Y_0,Z_0)=(1,1)$, а далее можно воспользоваться рекуррентным правилом: $$Y_{k+1}=(2x+1)Y_k+2xZ_k, \quad Z_{k+1}=2(x+1)Y_k+(2x+1)Z_k.$$ Отсюда $Y_k \equiv 1 \pmod{2x}$, $Z_k \equiv (-1)^k \pmod{2(x+1)}$. Значит, $k=2l$, и мы имеем $$y=\frac{Y_{2l}-1}{2x}, \quad z=\frac{Z_{2l}-1}{2(x+1)}.$$ Убедимся, что разность $y-z$ есть точный квадрат. Механические вычисления дают $$y-z= \left(\frac{2(\lambda^{2l}-\lambda^{-2l})}{(\lambda+\lambda^{-1})(\lambda-\lambda^{-1})}\right)^2=(Z_l-Y_l)^2.$$ Вот так.

С уравнением $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$ можно разделаться в таком же стиле. Но писать решение пока не буду :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 15 сен 2013, 11:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1663
Большое спасибо, nnosipov! Попробую разобраться. :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 15 сен 2013, 14:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
michel, меня только что на dxdy сразили совершенно шикарным "левым" решением задачи про уравнение $(y-z)(xy+xz+1)=(x+y-z)^2$ Так что не торопитесь идти по проторенной дорожке :)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 17 сен 2013, 18:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
Чтобы эти головомойки головоломки не отвлекали от более важных дел, помещаю текст с решением.


Вложения:
problem-____-7-new.pdf [167.87 KIB]
Скачиваний: 705
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 19 сен 2013, 20:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1663
nnosipov писал(а):
Чтобы эти головомойки головоломки не отвлекали от более важных дел, помещаю текст с решением.
Подробности:

Не сразу заметил, что Вы выложили два решения последней задачи. Второе альтернативное
решение намного симпатичнее, чем первое, которое уводит в дебри приемов решения уравнений типа Пелля!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 20 сен 2013, 04:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
michel писал(а):
Не сразу заметил, что Вы выложили два решения последней задачи. Второе альтернативное
решение намного симпатичнее, чем первое, которое уводит в дебри приемов решения уравнений типа Пелля!

Да, есть такое дело. Но наличие таких простых коротких решений всё-таки случайно. Обычно приходится залезать в эти дебри по необходимости. Сейчас заканчиваю статью, где на многочисленных примерах пытаюсь объяснить, что дебри там вполне разумные, жить можно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 28 сен 2013, 18:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 390
Очередная задача, на этот раз из старых запасов.

Пусть $m$ и $n$ --- натуральные числа, отличные от единицы и такие, что $n^3-1$ делится на $m$, а $m-1$ делится на $n$. Докажите, что $m=n^{3/2}+1$ или $m=n^2+n+1$.

Некоторые мои школьники и студенты считают её сложной, но так ли это на самом деле?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Головоломка
 Сообщение Добавлено: 29 сен 2013, 12:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1663
Нетрудно установить прямолинейным способом, составив систему `{(n^3-1=k*m),(m-1=l*n):}`, которая приводит к уравнению `(n-1)(n^2+n+1)=k*m`, что для любого `n>1` её решением всегда будет `m=n^2+n+1`. Другое решение `m=n^(3/2)+1` равносильно случаю `n^3=(m-1)^2<=>n^3-1=(m-2)m=(l*n-1)(l*n+1)=(l*n)^2-1<=>n^3=l^2n^2<=>n=l^2`, т.е. является дополнительным решением для случая, когда `n` является квадратом. Хотя могут быть и ещё другие решения задачи, но с формально логической точки зрения условие и требование задачи выполнены.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 6 из 7 [ Сообщений: 69 ] На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.




Список форумов » Просмотр темы - Головоломка


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: