Решения приветствуются

№2.
`sin^3x+1-cos^4x=0`
`sin^3x+(1-cos^2x)(1+cos^2x)=0`
`sin^3x+sin^2x(1+cos^2x)=0`
`sin^2x(sinx+1+cos^2x)=0`
далее понятно,
Если не поторопился, адвед:
`x=pik; x=-pi/2+2pik; k in Z`

№4 упрощенный №7 из http://2.olimpiada.ru/arc/12/ommo/ommo2012-var.pdf

А можно подробное решение 4 задачи? Я что то не соображу как к ответу привести

Перейдите на сайт олимпиады. Там есть подробное решение.

ИСПРАВИЛА, новый ответ в №8 `sqrt6/216`.
Нашла свою ошибку, я использовала диагональ `AC_1` первоначально. Тогда мои дальнейшие советы с 5 пункта не выполняются. Вершиной пирамиды, действительно лучше взять `P`. И далее тригонометрия рулит.

Я не смогла решить 8, можно решение?

Решение нимагу , а то Вам ничего не останется.
Подсказки:
1) Вы должны хорошо представлять себе, что такое правильный тетраэдр. Противолежащие ребра перпендикулярны?
2) Диагональ куба перпендикулярна любой, не пересекающейся с ней, диагонали грани куба-это факт, теорема о 3-х перпендикулярах Вам в помощь.
3) Расстояние между противолежащими ребрами тетраэдра вычисляем с легкостью.
4) Оппа ( теорема Пифагора) и готово ребро тетраэдра.
5) Осталось самое сложное- доказать, что у нужной нам пирамиды основание и боковая грань перпендикулярны.
Как-то так.
Берем вершину `P`

N 7.
Неравенство Коши - Буняковского.
Множество школьных способов:
1) `x-4a=C`, выражаем `x` и находим при каких `C` имеет решение квадратное уравнение.
2) Замена `b=2a`. При каком наименьшем `C` прямая `x-2b=C`пересекает окружность `x^2+b^2=4`.
3) Быстрее всего приводящий к ответу. Векторы `(x;2a)` и `(1; -2)`. Скалярное произведение не меньше минус произведения длин. Равно, когда векторы противоположно направлены.

№3. `4sqrt(6)`
`DeltaABC` вписан в окружность, поэтому `(AB)/sinACB=2R`, отсюда `sinACB=1/5`. `<ADB(=<ACB)=pi/2-<CAD`, т.к. диагонали пересекаются под прямым углом. `DeltaACD` вписан также в окружность, поэтому `(CD)/sinCAD=2R`, отсюда и из предыдущего выражения: `CD=2R*cosACB`