Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Подготовка к ЕГЭ




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 18:54 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 дек 2016, 21:47
Сообщений: 71
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане.
Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них:
1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так:
#1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)`
Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
#2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2`
отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат.
и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
Подробности:
Изображение

И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}`
При это по ОДЗ
`x!=pi/2+pi/2k,k in Z`
#1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ?
#2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 19:15 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4567
Откуда: Москва
Подробности:
ITwearsmeout писал(а):
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане.
Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них:
1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так:
#1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)`
Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
#2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2`
отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат.
и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
Изображение
И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}`
При это по ОДЗ
`x!=pi/2+pi/2k,k in Z`
#1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ?
#2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?

1. Как раз - нелогично (второе уравнение не выполняется), поэтому `{(x=pi/4),(y=pi/4):} quad.`

2. Третью серию решений в ответ не записывать (неочевидно, т.к. ОДЗ "выкалывает"
эту серию решений целиком).

3. Можно записывать с одинаковыми буквами.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 21:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 дек 2016, 21:47
Сообщений: 71
OlG писал(а):
Подробности:
ITwearsmeout писал(а):
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане.
Во время решения задач, связанных с тригонометрией у меня иногда возникает два вопроса, если вам не трудно, пожалуйста, ответьте на них:
1) Как правильно оформлять такие задачи?[(Условие под спойлером)имеется ввиду задачи, в которых есть система с какой-либо зависимостью одного аргумента тригонометрической функции от друго аргумента]Я рассуждаю так:
#1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)`
Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
#2. Подставим последнее полученное равенство во вторую строчку системы, получим : `x+x=pi/2`
отсюда: `x=pi/4`. Аналогично `y=pi/4`. Но что вообщем-то логично, решением данной системы является не просто `x=pi/2` и `y=pi/2`, а некоторое множество вида `x=pi/2+2pin,n in Z` ведь сколько бы мы не прибавляли полных оборотов в первом элементе системы или во втором, мы получим один и тот же результат.
и аналогично для `y`... сам вопрос: как правильно перейти к этому множеству и оформить этот переход? Казалось бы, авторы таких задачек сами никогда не пишут в таких зависимостях что-то вроде `x+y=pi/2+2pin, n in Z`(Кстати, почему?) А если у нас есть система, в которой имеется такая линейная зависимость аргументов + ещё совокупность множеств корней, как быть с их оформлением, должен ли у них быть один и тот же коэффицент-буква у периода? Ведь зависимость касается каждого множества корней, и по сути в конечном итоге ответ такой системы должен лежать в одном множестве, коэффицент-буковка которого - одинаков. Что-то я запутался...
Изображение
И второй вопрос: пусть решением некоторого уравнения является совокупность корней : `[(x=pi/3+2pin, n in Z),(x=2pi/3+2pin,n in Z),(x=pi/2+pin,n in Z):}`
При это по ОДЗ
`x!=pi/2+pi/2k,k in Z`
#1 Очевидно, что `x=pi/2+pi/2k, k in Z ` и `x = pi/2 + pin, n in Z` рано или поздно будут равны одному и тому же углу при `k=2n`, а значит, что нельзя вписать всё множество корней вида `x=pi/2+pin, n in Z` в ответ. Так как же его записать? Вот так : `x=pi/2+pin,n in Z, n!=k/2, k in Z`? Такое примут на ЕГЭ?
#2 Я правильно понимаю, что если у нас в уравнению выходят несколько тригонометрических функций, каждая из которых даёт свои корни в итоге, то желательно записывать разные коэффиценты у их периода? Т.е. множество корне йданной совокупности `[(sinx=0),(cosx=sqrt(3)/2),(tg=1):}`необходимо записывать с разными буквами-коэффицентами у периода?

1. Как раз - нелогично (второе уравнение не выполняется), поэтому `{(x=pi/4),(y=pi/4):} quad.`

2. Третью серию решений в ответ не записывать (неочевидно, т.к. ОДЗ "выкалывает"
эту серию решений целиком).

3. Можно записывать с одинаковыми буквами.

Но ведь при `k=n=1` получаем `x!=pi`; `x=3*pi/2`
Углы не совпадают, значит вроде как можно записать второй икс в ответ.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 22:57 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4567
Откуда: Москва
Подробности:
ITwearsmeout писал(а):
Но ведь при `k=n=1` получаем `x!=pi`; `x=3*pi/2`
Углы не совпадают, значит вроде как можно записать второй икс в ответ.

4.

а) `x ne pi/2+pi/2 k, quad k in ZZ quad iff quad [(x ne pi/2+pin; quad k=2n; quad n in ZZ),(x ne pin; quad k=2n-1; quad n in ZZ):} quad.`

б) Изобразите третью серию и ОДЗ на единичной окружности.

5. Но ведь при `k=2; quad n=1` получаем `{(x ne (3pi)/2), (x=(3pi)/2):} quad .`

6. Но ведь при `k=2n; quad n in ZZ` получаем `{(x ne pi/2+pin), (x = pi/2+pin):} quad .`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 18 май 2017, 23:20 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 дек 2016, 21:47
Сообщений: 71
OlG писал(а):
Подробности:
ITwearsmeout писал(а):
Но ведь при `k=n=1` получаем `x!=pi`; `x=3*pi/2`
Углы не совпадают, значит вроде как можно записать второй икс в ответ.

4.

а) `x ne pi/2+pi/2 k, quad k in ZZ quad iff quad [(x ne pi/2+pin; quad k=2n; quad n in ZZ),(x ne pin; quad k=2n-1; quad n in ZZ):} quad.`

б) Изобразите третью серию и ОДЗ на единичной окружности.

5. Но ведь при `k=2; quad n=1` получаем `{(x ne (3pi)/2), (x=(3pi)/2):} quad .`

6. Но ведь при `k=2n; quad n in ZZ` получаем `{(x ne pi/2+pin), (x = pi/2+pin):} quad .`

Спасибо Вам огромное, OlG.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 12:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 02 май 2012, 10:56
Сообщений: 175
ITwearsmeout писал(а):
Я рассуждаю так:
#1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)`
Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
Здесь ошибка в рассуждениях (и по-видимому также в понимании происходящего). Нет никаких двух функций. Есть одна функция `f(t)=3t-cos(t)`. У нас слева и справа в первом уравнении написаны значения этой функции в двух точках: `t=x` и `t=y`. То есть первое уравнение может быть записано как `f(x)=f(y)`. Далее, так как функция `f(t)` монотонна, то отсюда можно сделать вывод, что `x=y`.
Подробности:
Если более подробно, то из монотонности следует инъективность. У инъективной функции из равенства образов `f(x)` и `f(y)` следует равенство прообразов `x` и `y`.
Ещё раз: никаких "они пересекутся", так как у нас одна функция, и мы не рассматриваем пересечения её графика с чем-то ещё.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Корни в тригонометрии. Периодичность.
 Сообщение Добавлено: 19 май 2017, 16:32 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 01 дек 2016, 21:47
Сообщений: 71
serg_l писал(а):
ITwearsmeout писал(а):
Я рассуждаю так:
#1. Рассмотрим две функции в первом равенстве системе `f(x)=3x-cos(x)` и `f(y)=3y-cos(y)`
Обе функции являются монотонно возрастующими на их областях определения `=>` они пересекуться тогда, когда `x=y`.
Здесь ошибка в рассуждениях (и по-видимому также в понимании происходящего). Нет никаких двух функций. Есть одна функция `f(t)=3t-cos(t)`. У нас слева и справа в первом уравнении написаны значения этой функции в двух точках: `t=x` и `t=y`. То есть первое уравнение может быть записано как `f(x)=f(y)`. Далее, так как функция `f(t)` монотонна, то отсюда можно сделать вывод, что `x=y`.
Подробности:
Если более подробно, то из монотонности следует инъективность. У инъективной функции из равенства образов `f(x)` и `f(y)` следует равенство прообразов `x` и `y`.
Ещё раз: никаких "они пересекутся", так как у нас одна функция, и мы не рассматриваем пересечения её графика с чем-то ещё.

Вас понял. Благодарю.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: