Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Подготовка к ЕГЭ




 Страница 3 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу Пред.  1, 2, 3



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 12:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:05
Сообщений: 134
Настюха
Спасибо за ответ! Буду тоже осваивать.

И нам всем надо у тебя поучиться вежливости=((
Ты со всеми здороваешься. А я с тобой не поздоровалась в прошлый раз=(
Давай сейчас восполню это упущение.

Здравствуй, Настенька! :greetings-waveyellow:
Здорово у тебя все получается! @};-


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 19:15 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Спасибо, Sensile! @};-


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 19:16 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
C6. Найдите все пары натуральных чисел `m` и `n` , являющиеся решениями уравнения `2^m-3^n=1`.

Решение.

Ох, и долго же мне пришлось помучиться с этой задачкой, прежде чем я пришла к идее её решения. Для этого пришлось перелопать несколько книжек. Но всё началось с обычного эксперимента.
Сначала я переписала данное уравнение в виде: `2^m=3^n+1`. Затем я решила посмотреть, какие значения могут принимать левая и правая части этого уравнения при `m=1;2;3;4;5` и `n=1;2;3;4;5`. Я составила таблицу.
`--------`
`|m, n|\ 2^m \ \|3^n+1|`
`--------`
`| \ \ \ 1\ \ \ \| \ \ 2\ \ \ \| \ \ \ \ \4 \ \ \ \ \ \ |`
`--------`
`| \ \ \ \2 \ \ \ | \ \ \4 \ \ \ | \ \ \ \ 10\ \ \ \ |`
`--------`
`| \ \ \ 3\ \ \ | \ \ 8\ \ \ \| \ \ \ \ \28 \ \ \ \ |`
`--------`
`| \ \ \ 4\ \ \ | \ \16 \ \ | \ \ \ \ \82 \ \ \ \ |`
`--------`
`| \ \ \ 5\ \ \ | \ \32 \ \ | \ \ \ \ \244\ \ \|`
Я увидела одну закономерность. Все числа второго столбика, начиная с третьей строчки и ниже, нацело делятся на 8, и ни одно число третьего столбика не делится на 8. Меня этот факт очень заинтересовал. И я сделала предположение о том, что при любых натуральных значениях `m`, `m ge 3` и `n` левая часть уравнения `2^m=3^n+1` нацело делится на `8`, а правая часть нацело не делится на `8`. Если моя гипотеза подтвердится, то получается, что равенство `2^m=3^n+1` не возможно ни при каких натуральных `m,n`, где `m ge 3`. Тогда останется проверить два случая, когда `m=1` и `m=2`. Вот с этого простого перебора я и начну.

1) Пусть `m=1`. Подставим это значение в уравнение `2^m=3^n+1`. Тогда получим

`2^1=3^n+1`, `3^n=1`, `n=0`. Но число `0` не является натуральным. А нам-то надо найти пары именно натуральных чисел `m` и `n`. Так что первый случай нам не подходит.

2) Пусть `m=2`. Подставим это значение в уравнение `2^m=3^n+1`. Тогда получим

`2^2=3^n+1`, `3^n=3`, `n=1` - натуральное число. Ооо, вот это то, что нам надо! Значит, пара `m=2`, `n=1` является решением данного уравнения.

3) Пусть `m` - натуральное число большее или равное `3`. Тогда `2^m` нацело делится на `8`. `m>=3 => 2^m>=2^3 => 2^m>=8`. Но `2^m=3^n+1`. Значит, `3^n+1 >= 8 => 3^n >=7 => n>=2`. Натуральное число `n ` может быть либо чётным, либо нечётным, поэтому рассмотрим два случая.

I. Пусть `n` - чётное число `=> n=2k` , где `k` - натуральное число.
Тогда `3^n+1=3^(2k)+1=(3^k)^2+1=((3^k)^2-1)+2=(3^k-1)(3^k+1)+2`.
Так как число `3^k` - является нечётным, то `(3^k-1), (3^k+1)` - два последовательных чётных числа. Следовательно, одно из них делится на `2`, а другое на `4`. Значит, произведение `(3^k-1)(3^k+1)` делится на `8`, поэтому число `3^n+1=(3^k-1)(3^k+1)+2` не делится на `8` (оно при делении на `8` остаток равный `2`).
II. Пусть `n` - нечётное число и `n ge 2 => n=2k+1` , где `k` - натуральное число.
Тогда `3^n+1=3^(2k+1)+1=3*(3^k)^2+1=(3*(3^k)^2-3)+4=3* ( (3^k)^2-1)+4=3*(3^k-1)(3^k+1)+4` - это число не делится на `8` (оно при делении на `8` даёт остаток, равный `4`).
Моя гипотеза подтвердилась: при любых натуральных значениях `m`, где `m ge 3` и `n` левая часть уравнения `2^m=3^n+1` нацело делится на `8`, а правая часть нацело не делится на `8`. Значит, в случае 3) равенство `2^m=3^n+1` невозможно.

Получается, что уравнение `2^m-3^n=1` имеет только одно решение в натуральных числах: `m=2`, `n=1`.
Ответ: `(2;1)`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 19:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Хочу выразить огромную благодарность математическому сообществу eek.diary.ru , всем его создателям и участникам. На книжных полках этого сообщества я нашла столько полезных и интересных книжек. Кто ещё всего этого не видел, обязательно зайдите и посмотрите, это же настоящая кладовая научных знаний.
Вот ссылка: http://eek.diary.ru/p0.htm#more13
Если бы ночью не нужно было спать, то я день и ночь читала бы эти удивительные книги!
Ребята, пожалуйста, не теряйте время даром (а оно очень быстро пройдёт, и глазом моргнуть не успеете).
Читайте книги, впитывайте знания, они вам очень пригодятся!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 19:28 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5501
Настюш, большое спасибо за замечательные, прекрасно оформленные подробные решения! Я очень надеюсь, что Вы с нами не прощаетесь и мы еще увидим Ваши решения! @};-


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 19:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
admin писал(а):
Настюш, большое спасибо за замечательные, прекрасно оформленные подробные решения! Я очень надеюсь, что Вы с нами не прощаетесь и мы еще увидим Ваши решения! @};-

Здравствуйте! Конечно же нет! Мне у вас многому ещё нужно поучиться! Поэтому я никуда не ухожу!
Хочу сказать большое спасибо Вам, scorpion и всем участником форума, которые мне помогали!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 26 окт 2010, 20:32 
Не в сети
Главный модератор
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 23 окт 2010, 19:59
Сообщений: 7130
Откуда: Королёв
Настюха!Ты где?
Мы без тебя скучаем!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 3 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу Пред.  1, 2, 3




Список форумов » Просмотр темы - Штурм С-шек!


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: