Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Подготовка к ЕГЭ




 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 21 окт 2010, 11:38 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
C2. В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` найдите угол между плоскостью `A A_1C` и прямой `A_1B`, если `A A_1=3`, `AB=4`,`BC=4`.

Идея решения: (смотрим на рисунок и читаем) искомый угол – это острый угол `phi` прямоугольного треугольника `ABM` (`M` - середина `AC`). Сначала мы находим `sinphi`, а затем и сам этот угол.
Решение.
Если прямая и данная плоскость не перпендикулярны, то углом между ними называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
В задаче требуется найти угол между прямой `A_1B` и плоскостью `A A_1C`. Чтобы показать этот угол, нам нужно спроектировать отрезок `A_1B` на плоскость треугольника `A A_1C`. Для нахождения этой проекции можно взять концы отрезка `A_1B` и опустить из них перпендикуляры на плоскость `A A_1C`. Проекцией точки `A_1` на плоскость `A A_1C` является она сама (точка `A_1` лежит в плоскости `A A_1C`). Теперь надо опустить перпендикуляр из точки `B` на плоскость `A A_1C`. Проведём отрезок `AC` и отметим его середину `M`. Докажем, что `BM_|_ (A A_1C)`. Отрезок `ВМ` является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника `ABC` (`BA=BC`, `/_BAC=45^0`), проведенной из вершины прямого угла `B`.
А значит, `BM` является и высотой этого треугольника. Следовательно, `BM_|_AC`.
Так как ребро `A A_1 ` перпендикулярно грани `ABCD`, то это ребро будет перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости этой грани, в том числе и прямой `BM`. Значит, `BM_|_A_1A`. Получается, что прямая `BM` перпендикулярна сразу двум пересекающимся прямым `AC` и `A_1A`, лежащим в одной плоскости `A A_1C`, а это означает, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `A A_1C` (т.е. `M` - проекция `B`, `MA_1` - проекция `BA_1` на плоскость `A A_1C`, `phi= /_BA_1M` - искомый).
А раз прямая `BM` перпендикулярна плоскости `A A_1C`, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой `A_1M`. Следовательно, `Delta A_1BM` - прямоугольный, `/_BMA_1=90^0`. В этом треугольнике мы будем искать синус искомого угла `phi= /_BA_1M` по определению, но для этого мы должны знать противолежащий катет `BM` и гипотенузу `A_1B`. Длину отрезка `A_1B` длину отрезка `A_1B` легко найти по теореме Пифагора из прямоугольно треугольника `A_1BA` (`/_A=90^0`). `A_1B=sqrt((A_1A)^2+(BA)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5.` Теперь найдём `BM`. В прямоугольном треугольнике `ABM` `/_BAM=45^0`, значит, этот треугольник равнобедренный и его катет `BM` в `sqrt2` раз меньше гипотенузы, т.е. `BM=(AB)/sqrt2=4/sqrt2=(2*2)/sqrt2=(2sqrt2*sqrt2)/sqrt2=2sqrt2`. Теперь находим синус искомого угла `phi= /_BA_1M`.
`sinphi=(BM)/(BA_1)=(2sqrt2)/5` `=> phi=arcsin((2sqrt2)/5)`.

Ответ: `arcsin((2sqrt2)/5)`.

Ой, что-то решение слишком длинное получилось! Надо мне поучиться у scorpion, чтобы решения были короткими!


Вложения:
C2.JPG
C2.JPG [ 37 KIB | Просмотров: 6658 ]


Последний раз редактировалось Настюха 21 окт 2010, 19:39, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 21 окт 2010, 12:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2315
Откуда: Саранск
Решение хорошее,но написать столько на ЕГЭ времени не хватит.Определения можно пропустить.Укорачиваю:
Настюха писал(а):
C2. В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` найдите угол между плоскостью `A A_1C` и прямой `A_1B`, если `A A_1=3`, `AB=4`,`BC=4`.

Находим `sinphi`
Решение.
. Чтобы показать искомый угол, нам нужно спроектировать отрезок `A_1B` на плоскость треугольника `A _1AC`. Проведём отрезок `AC` и отметим его середину `M`. Докажем, что `BM_|_ (A A_1C)`. Отрезок `ВМ` является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника `ABC` (`BA=BC`, `/_BAC=45^0`), проведенной из вершины прямого угла `B`.
А значит, `BM` является и высотой этого треугольника. Следовательно, `BM_|_AC`.
Так как ребро `A_1A ` перпендикулярно грани `ABCD`, то это ребро будет перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости этой грани, в том числе и прямой `BM`. Значит, `BM_|_A_1A`. Получается, что прямая `BM` перпендикулярна сразу двум пересекающимся прямым `AC` и `A_1A`, лежащим в одной плоскости `A_1AC`, а это означает, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `A A_1C` (т.е. `M` - проекция `B`, `MA_1` - проекция `BA_1` на плоскость `A A_1C`, `phi= /_BA_1M` - искомый).
Следовательно`BM` перпендикулярна прямой `A_1M`. Следовательно, `Delta A_1BM` - прямоугольный, `/_BMA_1=90^0`. По теореме Пифагора из прямоугольно треугольника `A_1BA` (`/_A=90^0`). `A_1B=sqrt((A_1A)^2+(BA)^2)=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5.` Теперь найдём `BM`. В прямоугольном треугольнике `ABM` `/_BAM=45^0`, значит, этот треугольник равнобедренный и его катет `BM` в `sqrt2` раз меньше гипотенузы, т.е. `BM=(AB)/sqrt2=4/sqrt2=(2*2)/sqrt2=(2sqrt2*sqrt2)/sqrt2=2sqrt2`. Теперь находим синус искомого угла `phi= /_BA_1M`.
`sinphi=(BM)/(BA_1)=(2sqrt2)/5` `=> phi=arcsin((2sqrt2)/5)`.

Ответ: `arcsin((2sqrt2)/5)`.
Но я бы написала еще короче.

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 21 окт 2010, 19:46 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Спасибо, scorpion! Я буду стараться кратко писать решения задач, как Вы. Если, конечно, получится. Это ведь не так легко. На ЕГЭ главное не просто уметь решать задачи, а надо уметь решать их за определённое время и надо постараться уложиться в это время. Я думаю, что стоит поупражняться решать задачи на время (включил таймер и вперёд)! Но прежде всего нужно просто научиться решать задачи.


Последний раз редактировалось Настюха 21 окт 2010, 21:30, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 21 окт 2010, 19:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Вот, ещё решила C3.
C3. Решите уравнение `sqrt(x+4sqrt(x-4))+sqrt(x-4sqrt(x-4))=4`.
Решение.
Введём новую переменную. Пусть `t=sqrt(x-4) => t^2=x-4 => x=t^2+4`. Тогда
`sqrt(t^2+4+4t)+sqrt(t^2+4-4t)=4`,
`sqrt(t^2+4t+4)+sqrt(t^2-4t+4)=4`,
`sqrt((t+2)^2)+sqrt((t-2)^2)=4`,
`|t+2|+|t-2|=4`,
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: модуль разности `|x_1-x_2|` равен расстоянию между точками `A(x_1)` и `B(x_2)` координатной оси. Рассмотрим на координатной оси `Ox` три точки: `A(-2), B(2), C(t)`, тогда равенство `|t+2|+|t-2|=4` или
`|t-(-2)|+|t-2|=4` можно переписать в виде `AC+BC=4`, но длина отрезка `AB=2-(2)=4`.
Если точка `C` не принадлежит отрезку `AB`, то `AC+BC>4`. Если точка `C` принадлежит отрезку `AB`, то `AC+BC=4`.
Значит, множеством решений уравнения `|t+2|+|t-2|=4` является отрезок `[-2;2]`, т.е. `-2<=t<=2`.
Выполним обратную замену. Подставляя в двойное неравенство `-2<=t<=2` вместо `t` `sqrt(x-4)` получим
`-2<=sqrt(x-4)<=2`,
`sqrt(x-4)<=2`, (возводим обе части неравенства в квадрат при условии, что подкоренное выражение будет неотрицательным)
`{(x-4<=4),(x-4 ge 0):}`, `{(x<=8),(x ge 4):}`, `4<=x<=8`, `x in [4;8]`.
Ответ: `[4;8]`.


Вложения:
C3.JPG
C3.JPG [ 33.76 KIB | Просмотров: 6628 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 22 окт 2010, 11:49 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
C4. В треугольнике `ABC` на стороне `BC` выбрана точка `D` так, что `BD:DC=1:2`.
Медиана `CE` пересекает отрезок `AD` в точке `F`. Какую часть площади треугольника `ABC` составляет площадь треугольника `AEF`.

Решение.

Мы знаем, что если в любом треугольнике `ABC` на стороне `BC` выбрана произвольная точка `M`, то отрезок `AM` делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся, как их основания, т.е. `S_{Delta BAM}:S_{Delta CAM}=BM:CM`.

Введём обозначения `x=S_{Delta AEF}`, `y=S_{Delta BDF}`, `z=S_{Delta ACF}`.
`CE` - медиана `Delta ABC` `=>` `BE=EA` `=>` `S_{Delta BEF}=S_{Delta AEF}=x`,
`BD:DC=1:2` `=>` `S_{Delta CDF}=2*S_{Delta BDF}=2y`.
`BE=EA` `=>` `S_{Delta CBE}=S_{Delta CAE}` `=>` `x+y+2y=x+z` `=>` `z=3y`.
`BD:DC=1:2` `=>` `S_{Delta CAD}=2*S_{Delta BAD}` `=>` `z+2y=2(x+x+y)` `=>` `3y+2y=2(2x+y)` `=>` `5y=4x+2y` `3y=4x`.
Теперь найдём искомое отношение

`S_{Delta AEF}/S_{Delta ABC}=x/(x+x+y+2y+z)=x/(2x+3y+3y)=x/(2x+4x+4x)=x/(10x)=0,1`.

Ответ: `0,1`.


Вложения:
C4.JPG
C4.JPG [ 44.64 KIB | Просмотров: 6599 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 22 окт 2010, 17:44 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
C5. Найдите все значения `a`, при каждом из которых график функции `f(x)=x^2-|x^2+2x-3|-a` пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

Решение.

Данная задача сводится к следующей: найти все значения `a` при каждом из которых уравнение `f(x)=0` или `x^2-|x^2+2x-3|=a` имеет более двух различных корней.
Для решения этой задачи будем использовать графический метод.
Графиком функции `S(x)=а` является прямая проходящая через точку `A(0;a)` перпендикулярно оси `Oy`.
Для построения графика функции `L(x)= x^2-|x^2+2x-3|` рассмотрим случаи:

1) если `x^2+2x-3<=0` или `-3<=x<=1`, то `L(x)=x^2+x^2+2x-3, L(x)=2x^2+2x-3`.
Значит, на отрезке `[-3;1]` графиком функции `L(x)` является часть параболы `y=2x^2+2x-3`, с ветвями направленными вверх и вершиной `B(-1/2;-3,5)`.
2) если `x^2+2x-3>0` или `x in (- infty; -3) uuu (1;+infty)`, то `L(x)=x^2-x^2-2x+3`, `L(x)=-2x+3`. Значит, на промежутках `(- infty; -3)`, `(1;+infty)` графиком функции `L(x)` являются части прямой `y(x)=-2x+3`.
Следовательно, график функции `L(x)` состоит из двух лучей и части параболы. Сделаем рисунок. Из этого рисунка видно, что графики функций `L(x)` и `S(x)` пересекаются в одной точке, если `a>1` или `a<-3,5` (уравнение `L(x)=S(x)` имеет один корень), пересекаются в двух точках, если `a=1` или `a=-3,5` (уравнение `L(x)=S(x)` имеет два различных корня), пересекаются в трёх точках, если `-3,5<a<1` (уравнение `L(x)=S(x)` имеет три различных корня).
Таким образом, все искомые значения `a` принадлежат промежутку `(-3,5;1)`.
Ответ: `a in (-3,5;1)`.


Вложения:
C5.JPG
C5.JPG [ 46.38 KIB | Просмотров: 6582 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 22 окт 2010, 21:52 
[quote="Настюха"] у тебя очень красиво получается рисунки. Не поделишься, с помощью какой программы рисуешь? ;)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 22 окт 2010, 22:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Гость писал(а):
Настюха писал(а):
у тебя очень красиво получается рисунки. Не поделишься, с помощью какой программы рисуешь? ;)

Здравствуйте! Когда я по ссылке Сан Саныча перешла в HELP по набору формул, я попала на очень хороший сайт http://eek.diary.ru/
А там в списке я увидела ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ http://eek.diary.ru/p0.htm#more6
И там, во второй строчке сверху я прочитала:

Живая математика (программа+книга, Geometer's ScetchPad версии 4.06, с русской справкой)
Меня это дело очень заинтересовало, я скачала себе эту программу и увидела, что в ней можно строить графики функций и не только графики. Пришлось немножко посидеть, но я сумела разобраться с тем, как строятся графики! Вот и результат!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 07:53 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 16:05
Сообщений: 134
Настюха
Вот уж не думала, что с ЖГ можно так красиво. Или я не во всех возможностях разобралась
А штриховка-то как?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Штурм С-шек!
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2010, 11:43 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 окт 2010, 23:04
Сообщений: 119
Sensile писал(а):
Настюха
Вот уж не думала, что с ЖГ можно так красиво. Или я не во всех возможностях разобралась
А штриховка-то как?

Здравствуйте, Sensile! Графики функций я строила с помощью "Живой Математики", а все остальные рисунки я делала с помощью программы "Visio".


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 2 из 3 [ Сообщений: 27 ] На страницу Пред.  1, 2, 3  След.




Список форумов » Просмотр темы - Штурм С-шек!


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: