Порешал С5, в ответе не особо уверен, но мысли вроде бы более менее адекватные. Ответ получился `a in [-sqrt(2)/(2sqrt(5));sqrt(2)/(2sqrt(5)));`
Решение:
Для начала запакуем синусы и косинусы по методу вспомогательного аргумента:
`|sqrt(10)sin(x+alpha)-a|=sqrt(10)sin(x+beta)+a`, где `alpha=arcsin(1/sqrt(10)) , beta=arcsin(3/sqrt(10))`
Заметим, что `sinalpha=cosbeta`, значит `alpha+beta=pi/2` и наше уравнение можно переписать в виде:
`|sqrt(10)sin(x+alpha)-a|=sqrt(10)sin(x+pi/2-alpha)+a`
Это уравнение равносильно совокупности систем:
`[({(sqrt10sin(x+alpha)-a=sqrt10sin(x+pi/2-alpha)+a),(sin(x+alpha)>=a/sqrt10):}),({(sqrt10sin(x+alpha)+sqrt10sin(x+pi/2-alpha)=0),(sin(x+alpha)<=a/sqrt10):}):}`
Далее по формулам суммы и разности синусов приводим системы к виду:
`[({(cos(x+pi/4)=-sqrt5a),(sin(x+alpha)>=a/sqrt10):}),({(sin(x+pi/4)=0),(sin(x+alpha)<=a/sqrt10):}):}`
Замечаем, что вторая система решений в требуемом промежутке не имеет, т.к. у `sin(x+pi/4)=0` углы лежат во II и IV четвертях.
Остаётся первая система. Чтобы она имела не менее одного решения, на второе неравенство наложил условие: `a/sqrt(10)>=-1 => a>=-sqrt(10)`
Т.к. `0<x<=pi/2`, то `<pi/4<x+pi/4<=3pi/4`, тогда `-sqrt(2)/2<cos(x+pi/4)=-sqrt(5)a<=sqrt(2)/2`, откуда получаем `a in [-sqrt(2)/(2sqrt(5));sqrt(2)/(2sqrt(5)));`
Хотелось бы услышать, где ошибка, т.к. почему-то мне кажется, что она тут есть и не одна.
Это сверху совокупность, не получилось по вертикали системы расположить:(
Совокупность в наборе [(...),(...):} - начальная скобочка квадратная,а последняя - фигурная.
Поправила nattix. В решение не вникала