Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Тренировочная работа Статград 03.03.16
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=6&t=13363
Страница 3 из 5

Автор:  evgen9 [ 06 мар 2016, 14:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

Dixi писал(а):
evgen9 писал(а):
В 16.2 у кого-нибудь получилось нарисовать четырехугольник, что бы все условия соблюдались?
Если ВС параллельна AD, то АС не получается равной 8.

Получается)
Подробности:
Вложение:
temp.jpg


Да, точно получается)

Автор:  pensy [ 06 мар 2016, 14:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

evgen9 писал(а):
Если ABCD ромб, то АС=8,6 при BD=5

А кто Вам сказал, что это ромб :)
Подробности:
Вложение:
16_2.pdf [202.74 KIB]
Скачиваний: 961

Заметил описку в тексте последний угол, конечно, `BDA`, а не `BDC` :(

Автор:  evgen9 [ 06 мар 2016, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

16.2) CD=6

Вложения:
16.2.ggb [8.93 KIB]
Скачиваний: 1111

Автор:  Владимир Анатольевич [ 06 мар 2016, 20:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

Решение задачи 19.1
Подробности:
19.1
Бесконечная арифметическая прогрессия `a_1,a_2,...,a_n , ...` состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1,a_2,...,a_7` ровно три числа делятся на 100?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел `a_1,a_2,...,a_49` ровно 11 чисел делятся на 100?
в) Для какого наибольшего натурального `n` могло оказаться так, что среди чисел `a_1,a_2,...,a_(2n)` больше кратных 100, чем среди чисел `a_(2n+1),a_(2n+2),...,a_(5n)` ?
Решение.
а) Да, например: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350.
б) Нет. Если на 100 делится каждое четвертое число (например, при `d=25`), то чисел в такой группе не более `11*4+3=47`. Если на 100 делится каждое пятое число (например, при `d=20`), чисел не менее `10*5+1=51`. Понятно, что другие случаи также невозможны.
в) `n=66`. Много букафф, короткого решения не нашел. Кто знает, приведите, пожалуйста.
Сделаем предварительно несколько замечаний.
1) Числа, кратные 100, будем называть отмеченными.
2) Если арифметическая прогрессия содержит отмеченные числа (их может и не быть), то они будут следовать с "периодом" `100/((100;d))` (`(100;d)` - НОД чисел 100 и d). В частности, если числа 100 и d - взаимно простые, отмеченные числа будут следовать через 100 номеров. Этот случай и будет рассмотрен сначала (об остальных - в конце).
3) Длиной отрезка `[a_k;a_m]` назовем количество `m-k+1` членов прогрессии в нем.
4) Чтобы отрезок содержал `k` отмеченных точек, необходимо, чтобы он имел длину не менее `100(k-1)+1`.
5) Чтобы отрезок содержал `k` отмеченных точек, достаточно, чтобы он имел длину не менее `100k`.
1) Рассмотрим сначала случай, когда отрезок `[a_1;a_(2n)]` содержит одно отмеченное число. Чтобы в `[a_(2n+1);a_(5n)]` не содержалось отмеченных точек, достаточно выполнения условия: `2n+100>5n` (считаем, что `a_(2n)` - отмеченное число; в противном случае, для `n` получаются более слабые оценки). Отсюда `3n<100`. Наибольшее такое `n=33`.
2) Пусть в `[a_1;a_(2n)]` два отмеченных числа. Потребуем выполнения условия: `2n+200>5n \ => \ n<200/3`. Наибольшее такое `n=66`. Пример прогрессии: `a_k=68+k \ (k=1,2,...), \ a_32=100, \ a_(2n)=a_132=200, \ a_232=300, \ 5n=330<332 \ (a_(332)=400)`.
3) Если число отмеченных точек в `[a_1;a_(2n)]` `k>=3`, его длина не менее `100(k-1)+2`, так как `2n` - четное (замечание 4), а длина отрезка `[2n+1;5n]` - более `100k`. Докажем это. `2n>=100(k-1)+2 \ => \ n>=50(k-1)+1, \ 3n>=150(k-1)+3=100k+(50k-147)>100k`, так как `k>=3`. Значит, `[a_(2n+1);a_(5n)]` содержит не менее `k` отмеченных точек (замечание 5) и случай `k>=3` невозможен.
4) Если числа 100 и d не являются взаимно простыми, достаточно в замечаниях 4 и 5 и вариантах 1-3 заменить число 100 на 50, 25 или другие делители числа 100. Тогда значения для `n` только уменьшатся.
Ответ: 66.
Решение задачи 19.2
Подробности:
19.2
Бесконечная арифметическая прогрессия `a_1,a_2,...,a_n , ...` состоит из различных натуральных чисел. Пусть `S_1=a_1, \ S_n=a_1+a_2+...+a_n` при всех натуральных `n>=2`.
а) Существует ли такая прогрессия, для которой `S_10=100S_1`?
б) Существует ли такая прогрессия, для которой `S_10=50S_2` ?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь `(S_5^2)/S_1S_10`?
Решение.
а) Да, например, при `a_1=1, \ d=2`.
б) Нет, так как `50S_2=100a_1+50d>10a_1+45d=S_10 \ (a_1 in NN, \ d in NN)`.
в) 12375. `S_n=((2a_1+(n-1)d)*n)/2 \ => \ S_5=(a_1+2d)*5, \ S_10=(2a_1+9d)*5 \ => \ (S_5^2)/S_1S_10=(125*(a_1+2d)^2)/a_1(2a_1+9d) \ (1)`.
Так как правая часть в `(1)` при любом `a_1` - возрастающая функция `d`, `d=1`. Обозначим:
`f(a_1)=(125*(a_1+2)^2)/a_1(2a_1+9), \ g(a_1)=(a_1+2)^2/a_1`. Найдем наименьшее возможное значение функции `g(a_1)`. Используя неравенство `(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>=4xy` (равенство достигается лишь при `x=y`), получим `g(a_1)>=8` (равенство при `a_1=2`). Сравним `f(1)` и `f(2)`: `f(1)=12375, \ f(2)=13000 \ => \ f(1)<f(2)`. Далее, при `k>=3 \ g(k)>g(2), \ 2k+9>13 \ => \ f(k)>f(2)>f(1)`.
Ответ: 12375.

Автор:  evgen9 [ 07 мар 2016, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

(Мария) писал(а):
olka-109 писал(а):
Номер 16.1
Подробности:
`(3sqrt(3))/4`?

Согласна


Вложения:
16.1.ggb [9.18 KIB]
Скачиваний: 1140

Автор:  flida [ 08 мар 2016, 10:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

Решение 13
Подробности:


Вложения:
Решение 13.pdf [584.07 KIB]
Скачиваний: 9828

Автор:  serega13543 [ 09 мар 2016, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

Объясните пожалуйста подробно почему в 13 исключается один корень и как находятся корни на промежутке

Автор:  Владимир Анатольевич [ 10 мар 2016, 06:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

serega13543 писал(а):
Объясните пожалуйста подробно почему в 13 исключается один корень и как находятся корни на промежутке
Подробности:
Если `sinx=3/5`, то `cosx=pm sqrt(1-cos^2x)=pm 4/5`. Но `cosx!=-4/5`. Эта точка и исключается из ответа. Далее, из рассмотрения на тригонометрическом круге, получаем, что в промежуток `[-(7pi)/2;-2pi]` войдут только точки семейства `x=npi,\ n in ZZ` и что их всего две. Выбираются точки, которые принадлежат промежутку.

Автор:  belaya [ 11 мар 2016, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

В 14.1 не могу доказать, что треугольник прямоугольный. Получается равнобедренный, но не прямоугольный. Подскажите.

Автор:  khazh [ 11 мар 2016, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочная работа Статград 03.03.16

belaya писал(а):
В 14.1 не могу доказать, что треугольник прямоугольный. Получается равнобедренный, но не прямоугольный. Подскажите.

`AT=sqrt(4^2+2^2)=sqrt20`
`TC_1=sqrt(4^2-2^2)=sqrt12`
`AC_1=sqrt(4^2+4^2)=sqrt32`
`AC_1^2=AT^2+TC_1^2`

Страница 3 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/