10509
13. а) Решите уравнение `sqrt(2)sin^2(pi/2+x)=-cosx` б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-(5pi)/2;-pi]`
14. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB , равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB . Построено сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения. а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой. б) Найдите объём пирамиды CABNM .
15. Решите неравенство `2^(x/(x+1))-2^((5x+3)/(x+1))+8<=2^((2x)/(x+1))`
16. Окружность, проходящая через вершины A , C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC , пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC . Известно, что AD = CD. а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB . б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?
17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.
18. Найдите все неотрицательные значения `a` , при каждом из которых система уравнений `{(sqrt((x+2)^2+y^2)+sqrt(x^2+(y-a)^2)=sqrt(4+a^2)),(5y=|6-a^2|):}` имеет единственное решение.
19. Возрастающие арифметические прогрессии `a_1,a_2,...,a_n,...` и `b_1,b_2,...,b_n,...` состоят из натуральных чисел. а) Существуют ли такие прогрессии, для которых `a_1/b_1,a_2/b_2` и `a_4/b_4` - различные натуральные числа? б) Существуют ли такие прогрессии, для которых `a_1/b_1,b_2/a_2` и `a_4/b_4` - различные натуральные числа? в) Какое наименьшее значение может принимать дробь `a_2/b_2`, если известно, что `a_1/b_1, a_2/b_2` и `a_10/b_10` - различные натуральные числа?
10510
13. а) Решите уравнение `(sqrt(2)sinx+1)sqrt(-5cosx)=0`. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-5pi;-(7pi)/2]`
14. Дан прямой круговой конус с вершиной M . Осевое сечение конуса — треугольник с углом `120^0` при вершине M . Образующая конуса равна `2sqrt(3)`. Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих. а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник тупоугольный. б) Найдите площадь сечения.
15. Решите неравенство `log_(x^2+1)(x-3)^2*log_(x^2+1)((x-3)^2/(x^2+1)^3)<=-2`
16. В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN , причём AM :CM = 2 : 3 и `cos BAC=2/sqrt(5)` а) Докажите, что угол ABC тупой. б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC .
17. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.
18. Найдите все значения параметра `alpha` из интервала `(0;pi)` , при каждом из которых система `{(x^2+y^2-4(x+y)sin(alpha)+sin^2(alpha)=2sin(alpha)-1),(x/y+y/x=2sin(alpha)+4sin^2(alpha)):}` имеет единственное решение.
19. Возрастающие арифметические прогрессии `a_1, a_2 , ..., a_n` , ... и `b_1, b_2 , ..., b_n` , ... состоят из натуральных чисел. а) Существуют ли такие прогрессии, для которых `a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2` ? б) Существуют ли такие прогрессии, для которых `a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3` ? в) Какое наибольшее значение может принимать произведение `a_3b_3` , если `a_1b_1 + 2a_4b_4 <= 300` ?
|