Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=6&t=8683
Страница 1 из 2

Автор:  admin [ 21 май 2013, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

с1. а) Решите уравнение `1/(sin^2x)+1/(sinx)=2`
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[-(5pi)/2;-(3pi)/2]`

c2. Основание прямой призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` - ромб `ABCD` с углом `A`, равным 60 градусов, и стороной, равной 2. Найдите высоту призмы, если угол между плоскостями `A_1BC` и `ABC` равен 30 градусов.

с3.1 Решите систему неравенств
`{(log_sqrt(x+1)(6x-x^2-5)<=2),(|x-3|-x|x|>=0):}`

с3.2 Решите систему неравенств
`{(x^2+(1-sqrt(10))x-sqrt(10)<=0),((|x^2-2x-1|-2)/x>=0):}`

с4. Тангенс угла С треугольника АВС равен `2/3`, D - отличная от А точка пересечения окружностей,построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что `DB:DC=4:9`. Найдите угол А.

с5. Найдите все значения `a`,при каждом из которых система уравнений
`{(x^2+y^2-2a(x+y)=-2a^2+a),(x^2+y^2+4a(x-y)=-8a^2+9a):}`
имеет единственное решение.

с6. Среднее арифметическое трех натуральных чисел в `35/11` раза больше, чем среднее арифметическое обратных чисел. Найдите эти натуральные числа.

Автор:  sanya1996 [ 21 май 2013, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

С6.
Подробности:
Пусть `x`,`y`,`z` - эти числа. обратные числа равны `1/x,1/y,1/z`(`x,y,z in N`).ясно, что отношение средних арифметических этих чисел равно отношению сумм этих чисел.

`(x+y+z) : (1/x+1/y+1/z)=35/11`
`(x+y+z):((xy+xz+yz)/(xyz))=35/11`
`(xyz(x+y+z))/(xy+xz+yz)=35/11`
`11xyz(x+y+z)=35(xy+xz+yz)`
`11x^2yz+11y^2xz=11z^2xy-35xy-35xz-35yz=0`
`yz(11x^2-35)+xz(11y^2-35)+xy(11z^2-35)=0`
Сумма трёх слагаемых равна`0` если все три слагаемых равны `0` или хотябы одно из них отрицательно.
если все три слагаемых равны `0`, то `11x^2-35=11y^2-35=11z^2-35=0`; `x^2=y^2=z^2=35/11`; `x=y=z=sqrt(35/11)` `x,y,z !in N`

Пусть `2` слагаемых отрицательны. пусть `yz(11x^2-35)<0` и `xz(11y^2-35)<0`;`xy` и `xz >0 `(так как `x,y,z in N`) тогда `11x^2-35` и `11y^2-35<0` что возможно, только при `x=y=1`, тогда
`-24z-24z+11z^2-35=0`
`11z^2-48z-35=0`
`D=48^2-4*11*(-35)=48^2+44*35=2304+1540=3840=62^2`
`z_1=48+62/22=110/22=5`
`z_2=(48-62)/22; !in N`

Пусть одно слагаемое отрицательно ( `x=1``y,z!=1`); тогда
`1+y+z=35/11(1+1/y+1/z)` заметим, что левая часть натуральное число и наибольшее значение `35/11(1+1/y+1/z)=70/11<7`;`z+y<6`; `z+y(max)=5`
`35/11(1+1/y+1/z)=(35(yz+y+z))/(11yz)`;если дробь-натуральное число, то `yz+y+z` делится на `11` а `yz` делится на `35`(при `(z+y)max=5`не может делиться на `35`) либо делитель `35``(1,5,7,35)`,учитывая `(z+y)max=5` не может быть делителем `35` значит дробь не может быть натуральным числом.
Очевидно, что случай с одним слагаемым, равным `0` и одним отрицательным слагаемым невозможен.

Ответ: `1;1;5`

Автор:  sanya1996 [ 21 май 2013, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

C1.

Подробности:
а)
`1/(sin^2x)+1/sinx=2`
`sinx=t; t!=0`
`1/t^2+1/t=2`
`(1+t)/t^2=2`
`1+t=2t^2`
`2t^2-t-1=0`
`D=1^2-2*4*(-1)=1+8=9=3^2`
`t_1=(1+3)/4=1`
`t_2=(1-3)/4=-1/2`
1)`sinx=1`
`x=pi/2+2pi*k, k in Z`
2)`sinx=-1/2`
`x_1=arcsin(-1/2)+2pi*n, n in Z = -pi/6+2pi*n, n in Z`
`x_2=pi-arcsin(-1/2)+2pi*n, n in Z = pi-(-pi/6)+2pi*n, n in Z=7pi/6+2pi*n, n in Z`
б)
`x in [-5pi/2;-3pi/2]`
`x=pi/2+2pi*k, k in Z`; если `k>=0` то корней на этом промежутке нет.
`k=-1, x=-3pi/2;+`
`k=-2,x=-7pi/2;-`
при `k<-2` корней на промежутке нет.
`x=-pi/6+2pi*n, n in Z`; если `n>=0` то корней на этом промежутке нет.
`n=-1,x=-13pi/6;+`
`n=-2, x=-25pi/6;-`
при `n<-2` корней на промежутке нет.
`x=7pi/6+2pi*n, n in Z`если `n>=0` то корней на этом промежутке нет.
`n=-1,x=-5pi/6;-`
`n=-2x=-17pi/6;-`
при `n<-2` корней на промежутке нет.
Ответ:
а)`pi/2+2pi*k, k in Z;-pi/6+2pi*n, n in Z;7pi/6+2pi*n, n in Z`
б)`-13pi/6;-3pi/2`

Автор:  nika [ 21 май 2013, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

=====
про какие слагаемые идет речь? Х,У,Z? Они не могут быть равны нулю априори!Там же обратные величины существуют!

Автор:  sanya1996 [ 21 май 2013, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

я имел в виду это уравнение `yz(11x^2-35)+xz(11y^2-35)+xy(11z^2-35)=0` если множители `11x^2-35,11z^2-35,11y^2-35=0` то слагаемые(`yz(11x^2-35),xz(11y^2-35),xy(11z^2-35)`) равны `0` и `x=y=z=sqrt(35/11)!=0`, но эти значения не являются натуральным числом.

Автор:  sanya1996 [ 21 май 2013, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

В С2 получилось `1`

Автор:  sanya1996 [ 21 май 2013, 19:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

c3(2)
`[-1;0)uu{1}uu[3;sqrt(10)]`

Автор:  al1as [ 21 май 2013, 22:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

`C5`.Две окружности и два случая касания. Мои ответы: `a=0.4` и `a=1.6`.

Автор:  cornelius [ 25 май 2013, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

al1as писал(а):
`C5`.Две окружности и два случая касания. Мои ответы: `a=0.4` и `a=1.6`.

А разве а=0 не решение?

Автор:  al1as [ 25 май 2013, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Диагностическая работа 10 класс 21 мая 2013

cornelius писал(а):
al1as писал(а):
`C5`.Две окружности и два случая касания. Мои ответы: `a=0.4` и `a=1.6`.

А разве `а=0` не решение?

Точно..И зачем я только бросился сразу к окружностям, предварительно не рассмотрев случай с точкой?.. :text-imsorry: Может быть есть еще какие-то "левые" `а`, которые я по своей невнимательности упустил?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/