Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 19:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 20:09 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!


`{m}` - дробная часть числа `m`?

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 20:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!


1.`sum_{k=1}^{n} [km/n]=sum_{k=1}^{m} [kn/m]=(mn)/2.`

2. `sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n} km/n -sum_{k=1}^{n} [km/n]=m/nsum_{k=1}^{n} k -(mn)/2=m/n*(n(n+1))/2-(mn)/2=m/2 .`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 20:50 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Спасибо OLG! Второй пункт Вашей решении понял, но первый никак не могу понять. Если это не нарушает правила форума, тогда напишите пожалуйста доказательства первого пункта.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 21:05 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
Спасибо OLG! Второй пункт Вашей решении понял, но первый никак не могу понять. Если это не нарушает правила форума, тогда напишите пожалуйста доказательства первого пункта.


Первый пункт не совсем верен. Нужно еще время.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 21:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
В книге "Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ. Арифметика и алгебра" в задаче под номером 203 геометрически доказывается формула `sum_(k=1)^(q-1)[(kp)/q]=sum_(k=1)^(p-1)[(kq)/p]=((p-1)(q-1))/2`. Попробуйте пожалуйста доказать это алгебраически !


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 21:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!


Теперь верно.

1.`sum_{k=1}^{n-1} [km/n]=sum_{k=1}^{m-1} [kn/m]=((m-1)(n-1))/2.`

2. `sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} km/n -sum_{k=1}^{n-1} [km/n]=m/nsum_{k=1}^{n1} k -((m-1)(n-1))/2=m/n*(n(n-1))/2-((m-1)(n-1))/2=(n-1)/2 .`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 21:50 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
В книге "Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ. Арифметика и алгебра" в задаче под номером 203 геометрически доказывается формула `sum_(k=1)^(q-1)[(kp)/q]=sum_(k=1)^(p-1)[(kq)/p]=((p-1)(q-1))/2`. Попробуйте пожалуйста доказать это алгебраически !


Я смотрел у Виноградова. У него тоже, можно сказать, геометрически.

`sum_{k=1}^{n-1} [km/n]+sum_{k=1}^{m-1} [kn/m]` - количество точек с целочисленными координатами

в прямоугольнике со сторонами `n-1` и `m-1`.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 22 фев 2015, 22:07 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Если доказать равенство `{km/n}+{(n-k)m/n}=1, 1<=k<=n-1`, тогда задача решается в две строчки. Но как это доказать пока не знаю.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Дробная часть числа
 Сообщение Добавлено: 23 фев 2015, 05:49 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 4577
Откуда: Москва
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!


atakga писал(а):
Если доказать равенство `{km/n}+{(n-k)m/n}=1, 1<=k<=n-1`, тогда задача решается в две строчки. Но как это доказать пока не знаю.


1.
a) `[3]=3, quad [4,8]=4, quad [-2]=-2, quad [-5,3]=-6.`

b) `{x}=x-[x] quad Rightarrow quad {3}=3-[3]=0, quad {-3}=-3-[-3]=0,`

` quad {4,8}=4,8-[4,8]=0,8, quad {-4,8}=-4,8-[-4,8]=0,2.`

c) `a in ZZ quad Rightarrow quad [x+a]=[x]+a, quad {x+a}={x}.`

d) `x notin ZZ, quad a in ZZ quad Rightarrow quad {x}+{-x}=(x-[x])+(-x-[-x])=-[x]-[-x]=1, quad {a+x}+{a-x}=1.`

2.
a) `n=2l+1 quad Rightarrow quad sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} {km/n}=sum_{k=1}^{l} ({(km)/n} +{((n-k)m)/n})=`

`quad =sum_{k=1}^{l} ({(km)/n} +{-(km)/n})=l=(n-1)/2.`

b) `n=2l quad Rightarrow quad sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} {km/n}=sum_{k=1}^{l-1} ({(km)/n} +{((n-k)m)/n})+{(n/2)m/n}=`

`quad =sum_{k=1}^{l-1} ({(km)/n} +{-(km)/n})+1/2=l-1+1/1=(n-1)/2.`

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: