atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти сумму:`{m/n}+{(2m)/n}+...{(n-1)m/n}+{m}`, где m и n взаимно простые натуральные числа, n>1.
Спасибо заранее!
atakga писал(а):
Если доказать равенство `{km/n}+{(n-k)m/n}=1, 1<=k<=n-1`, тогда задача решается в две строчки. Но как это доказать пока не знаю.
1.
a) `[3]=3, quad [4,8]=4, quad [-2]=-2, quad [-5,3]=-6.`
b) `{x}=x-[x] quad Rightarrow quad {3}=3-[3]=0, quad {-3}=-3-[-3]=0,`
` quad {4,8}=4,8-[4,8]=0,8, quad {-4,8}=-4,8-[-4,8]=0,2.`
c) `a in ZZ quad Rightarrow quad [x+a]=[x]+a, quad {x+a}={x}.`
d) `x notin ZZ, quad a in ZZ quad Rightarrow quad {x}+{-x}=(x-[x])+(-x-[-x])=-[x]-[-x]=1, quad {a+x}+{a-x}=1.`
2.
a) `n=2l+1 quad Rightarrow quad sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} {km/n}=sum_{k=1}^{l} ({(km)/n} +{((n-k)m)/n})=`
`quad =sum_{k=1}^{l} ({(km)/n} +{-(km)/n})=l=(n-1)/2.`
b) `n=2l quad Rightarrow quad sum_{k=1}^{n} {km/n}=sum_{k=1}^{n-1} {km/n}=sum_{k=1}^{l-1} ({(km)/n} +{((n-k)m)/n})+{(n/2)m/n}=`
`quad =sum_{k=1}^{l-1} ({(km)/n} +{-(km)/n})+1/2=l-1+1/1=(n-1)/2.`