Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство для многочлена
 Сообщение Добавлено: 22 мар 2015, 05:32 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
`P(x)`-многочлен с положительными коэффициентами, удовлетворяющий условию `P(1) >= 1`. Доказать для `x > 0`неравенство `P(1/x) > 1/(P(x))`.
Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство для многочлена
 Сообщение Добавлено: 22 мар 2015, 09:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 914
Откуда: Казань
`P(x)` - многочлен с положительными коэффициентами, удовлетворяющий условию `P(1) >= 1`. Доказать для `x > 0` неравенство `P(1/x) >= 1/(P(x))`.
Без затей: перемножаете

`P(x)P(1/x)=sum_(k=0)^n a_k x^k cdot sum_(j=0)^n a_j x^(-j) =sum_(k,j=0)^n a_k a_j x^(k-j)=sum_(k=0)^n a_k^2 +sum_(k neq j)^n a_k a_j x^(k-j)=sum_(k=0)^n a_k^2 +sum_(k > j)^n a_k a_j (x^(k-j)+x^(j-k))>=sum_(k=0)^n a_k^2 +sum_(k > j)^n 2a_k a_j = (sum_(k=0)^n a_k)^2=P^2(1)`

(пользуетесь неравенством `t+t^(-1)>=2` при `t>0`).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство для многочлена
 Сообщение Добавлено: 22 мар 2015, 12:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Благодарен Вам Иваныч!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство для многочлена
 Сообщение Добавлено: 22 мар 2015, 19:25 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1377
C затеями и без счета.

Тут та же идея, что и в "битой" двоичной системе другой задачи.

Пусть P(x) = (x^k)*Q(x), [Q(0) != 0] тогда Q тоже удовлетворяет условиям задачи и строго больше единицы на (0; +беск), откуда сразу следует неравенство для Q.

А если переписать неравенство для P, то все x^k сократятся и получится неравенство для Q, которое тривиально верно.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: