|
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]
Автор |
Сообщение |
atakga
|
Заголовок сообщения: Уравнение в целых числах Добавлено: 24 мар 2015, 08:42 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые решения уравнения: `(x^2-y^2)^2=1+16y`. Спасибо заранее!
|
|
|
|
|
|
|
michel
|
Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах Добавлено: 24 мар 2015, 14:10 |
|
Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02 Сообщений: 1678
|
Перебором для небольших по модулю значений х и у находим пары `(x,y)=(+-1;0),(+-4;3)`, дальше из уравнения `(x-y)^2(x+y)^2=1+16y` и неравенства `(x+y)^2>=4|x|y>1+16y` для `|x|>=5` следует отсутствие других пар корней.
|
|
|
|
|
Иваныч
|
Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах Добавлено: 24 мар 2015, 15:24 |
|
Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41 Сообщений: 968 Откуда: Казань
|
Можно так. `(x,y)=(±1;0)` - очевидно, решения. Пусть `y>0`. Удобно использовать следствие исходного уравнения (извлекаем корень их обеих частей, раскрываем модуль): `x=pm sqrt(y^2 pm sqrt(16y+1)). quad quad quad ` (`I`) Расстояние от `y^2` до ближайшего квадрата равно `y^2 -(y-1)^2 =2y-1`. Следовательно, при `16y+1<(2y-1)^2`, т.е. при `y>5` решений нет. Подставляя в (`I`) `y=1,2,3,4,5`, получаем еще четыре решения `(x,y)=(±4;3)`, `(x,y)=(±4;5)`.
|
|
|
|
|
atakga
|
Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах Добавлено: 24 мар 2015, 16:30 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51 Сообщений: 118 Откуда: Занзибар
|
Благодарен Вам michel и Иваныч!
|
|
|
|
|
|
|
|
Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
|
|
|
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения
|
|
|