Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение в целых числах
 Сообщение Добавлено: 24 мар 2015, 08:42 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти целые решения уравнения: `(x^2-y^2)^2=1+16y`. Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
 Сообщение Добавлено: 24 мар 2015, 14:10 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1637
Перебором для небольших по модулю значений х и у находим пары `(x,y)=(+-1;0),(+-4;3)`, дальше из уравнения `(x-y)^2(x+y)^2=1+16y` и неравенства `(x+y)^2>=4|x|y>1+16y` для `|x|>=5` следует отсутствие других пар корней.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
 Сообщение Добавлено: 24 мар 2015, 15:24 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 916
Откуда: Казань
Можно так. `(x,y)=(±1;0)` - очевидно, решения. Пусть `y>0`. Удобно использовать следствие исходного уравнения (извлекаем корень их обеих частей, раскрываем модуль):
`x=pm sqrt(y^2 pm sqrt(16y+1)). quad quad quad ` (`I`)
Расстояние от `y^2` до ближайшего квадрата равно `y^2 -(y-1)^2 =2y-1`. Следовательно, при `16y+1<(2y-1)^2`, т.е. при `y>5` решений нет.
Подставляя в (`I`) `y=1,2,3,4,5`, получаем еще четыре решения `(x,y)=(±4;3)`, `(x,y)=(±4;5)`.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение в целых числах
 Сообщение Добавлено: 24 мар 2015, 16:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Благодарен Вам michel и Иваныч!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: