Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Квадрат числа
 Сообщение Добавлено: 25 мар 2015, 20:30 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Доказать, что число `11...155...5+1` есть полный квадрат, где количество единиц и пятерок равно 2014. Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Квадрат числа
 Сообщение Добавлено: 25 мар 2015, 20:52 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4064
Откуда: Санкт-Петербург
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Доказать, что число `11...155...5+1` есть полный квадрат, где количество единиц и пятерок равно 2014. Спасибо заранее!

Представь `11...1=1+10+...+10^2014` в виде суммы геометрической прогрессии. Аналогично `55...5`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Квадрат числа
 Сообщение Добавлено: 25 мар 2015, 20:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 06 окт 2013, 21:24
Сообщений: 506
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Доказать, что число `11...155...5+1` есть полный квадрат, где количество единиц и пятерок равно 2014. Спасибо заранее!

Идея в том, что число `mmm....m`, где цифра `m` входит `n` раз, удобно представляется как `m*(10^n-1)/9`.
Дальше решение, если нужно.
Подробности:
`N = 10^2014 * (10^2014-1)/9 + 5*(10^2014-1)/9 + 1`
`10^2014-1 = t`
`N=1/9(t(t+1)+5t+9)=1/9(t^2+6t+9)=(t+3)^2/9=(10^2014+2)^2/9=((10^2014+2)/3)^2` - целое число (числитель делится на 3, т.к. сумма цифр равна трём)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Квадрат числа
 Сообщение Добавлено: 25 мар 2015, 21:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 92
Откуда: Занзибар
Очень благодарен Вам vyv2 и pavel1808!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ] 




Список форумов » Просмотр темы - Квадрат числа


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: