Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
http://alexlarin.com/

Уравнение в радикалах
http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=671&t=11873
Страница 1 из 2

Автор:  atakga [ 28 мар 2015, 05:09 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение в радикалах

Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!

Автор:  alex123 [ 28 мар 2015, 13:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!


Если совсем наивно - полный перебор вида a^2 = 625 - t^2, t = 0,1,...,25 и проверка полученных a и b в поисках c.

Если более осмысленно, то задача представить число в виде суммы квадратов хорошо известна. Также, как и ее решение. Так что пар (a,b), которые могли бы подойти, мало, и они эффективно ищутся (не школьными методами, но доступными школьнику).

Опуская детали, если |z| = a, то |z^2| = a^2, |1+2i|^2=5. И.т.д. в том же духе.

UPD. А вообще задачка сложнее, чем кажется. Потому, что, вообще говоря, корни в левой части не обязаны быть рациональными, так что отделаться перебором полных квадратов не получится.

Итого - как решить без большого перебора, я не знаю. Может там подразумевается игра с хитрыми скалярными (даже и псевдо-скалярными) произведениями и неравенством Коши-Буняковского для них, но это еще более нешкольно.

UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.


a b c
5 5 23
5 23 5
7 15 15
7 24 0
10 10 17
10 17 10
15 7 15
15 15 7
15 20 0
17 10 10
20 15 0
20 20 -7
20 24 -15
23 5 5
24 7 0
24 20 -15

Автор:  OlG [ 28 мар 2015, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!


alex123 писал(а):
UPD. А вообще задачка сложнее, чем кажется. Потому, что, вообще говоря, корни в левой части не обязаны быть рациональными, так что отделаться перебором полных квадратов не получится.

Итого - как решить без большого перебора, я не знаю. Может там подразумевается игра с хитрыми скалярными (даже и псевдо-скалярными) произведениями и неравенством Коши-Буняковского для них, но это еще более нешкольно.


1.
a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`

b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`

c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.

2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие

комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`

3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`

Автор:  vyv2 [ 28 мар 2015, 17:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

[quote="alex123"
UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.


a b c
5 5 23
5 23 5
7 15 15
7 24 0
10 10 17
10 17 10
15 7 15
15 15 7
15 20 0
17 10 10
20 15 0
20 20 -7
20 24 -15
23 5 5
24 7 0
24 20 -15[/quote]
А почему в полный нетривиальный список входят отрицательные с?

Автор:  alex123 [ 28 мар 2015, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

vyv2 писал(а):
[quote="alex123"
UPD. Полный список нетривиальных (ab!=0) решений (спасибо компьютеру). Если кто-нибудь знает, как его получить разумно - буду рад услышать.


a b c
5 5 23
5 23 5
7 15 15
7 24 0
10 10 17
10 17 10
15 7 15
15 15 7
15 20 0
17 10 10
20 15 0
20 20 -7
20 24 -15
23 5 5
24 7 0
24 20 -15

А почему в полный нетривиальный список входят отрицательные с?[/quote]

Потому, что я его не редактировал. А искать было проще с комплекте с "лишними" решениями.

А могут быть какие-то еще разумные версии ответа на Ваше "почему"?

Автор:  atakga [ 28 мар 2015, 19:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

OlG писал(а):
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!

1.
a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`

b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`

c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.

2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие

комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`

3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`


Спасибо всем откликнувшимся! Уважаемый OlG! Объясните пожалуйста подробно пункты 1с) и 2 Вашей решении.

Автор:  OlG [ 28 мар 2015, 21:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

Подробности:
atakga писал(а):
OlG писал(а):
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи: Найти целые неотрицательные числа `a,b,c` удовлетворяющие уравнению `sqrt(625-a^2)sqrt(625-b^2)=ab+25c`. Спасибо заранее!

1.
a) `0<=a<=25, quad 0<=b<=25, quad 0<=c<=25;`

b) уравнение легко решается для случаев: ` a in {0; quad 25}, quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25};`

c) достаточно решить для случаев: ` a in {0; quad 25}`.

2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие

комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`

3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`


Спасибо всем откликнувшимся! Уважаемый OlG! Объясните пожалуйста подробно пункты 1с) и 2 Вашей решении.

1.
с) Уравнение инвариантно относительно перестановок `a; quad b; quad c`, поэтому достаточно

найти тройки решений `(a; quad b; quad c)` для `a in {0; quad 25} quad` (тройки решений для `quad b in {0; quad 25}, quad c in {0; quad 25}`

получаются перестановкой `a; quad b; quad c` в найденных решениях для `a in {0; quad 25}`).

`a=0 quad => quad b^2+c^2=625 quad => quad (0;quad 20;quad 15), quad (0;quad 15;quad 20), quad (0;quad 7;quad 24), quad (0;quad 24;quad 7).`

`a=25 quad => quad b+c=0 quad => quad (25;quad 0;quad 0).`

2. `2abc=25*(25^2-(a^2+b^2+c^2)), quad quad {(0<a<25), ( 0<b<25), (0<c<25):} quad => quad` `abc` кратно 25, т.е. с учетом ограничений

на `a, quad b, quad c` как минимум два натуральных множителя кратны 5. Уравнение инвариантно относительно

перестановок `a; quad b; quad c`, поэтому достаточно перебрать 10 комбинаций `(a; quad b; quad c)` (остальные получаются

перестановкой `a; quad b; quad c` в найденных решениях):

`(5;quad 5; quad c), quad (10;quad 5; quad c), quad (10;quad 10; quad c), quad (15;quad 5; quad c), quad (15;quad 10; quad c), quad(15;quad 15; quad c), quad `

`(20;quad 5; quad c), quad (20;quad 10; quad c), quad (20;quad 15; quad c), quad (20;quad 20; quad c). `

Автор:  vyv2 [ 28 мар 2015, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

OlG писал(а):

А где у Вас,например, решение (5,23,5)?

Автор:  OlG [ 28 мар 2015, 22:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

vyv2 писал(а):
А где у Вас,например, решение (5,23,5)?


OlG писал(а):
Уравнение инвариантно относительно перестановок `a; quad b; quad c`, поэтому достаточно

перебрать 10 комбинаций `(a; quad b; quad c)` (остальные получаются перестановкой

`a; quad b; quad c` в найденных решениях):

`(5;quad 5; quad c)...`


Подробности:

Автор:  alex123 [ 28 мар 2015, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение в радикалах

OlG писал(а):
2. `25^3-(a^2+b^2+c^2)25-2abc=0 quad => quad` достаточно перебрать следующие

комбинации: `(a;quad b)=(5k;quad 5n), quad k in {1;quad 2; quad 3; quad 4}, quad n=1 div k.`

3. Остальные решения получаем перестановками `a, quad b, quad c.`


Но и перебор 16-ти вариантов - не сахар.

То, что abc делится на 25 - видел, а полную симметричность - нет. Так как поленился преобразовывать.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/