Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2015, 18:55 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти целую часть чисел:
1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`;
2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`.
Спасибо заранее!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2015, 20:46 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 916
Откуда: Казань
Подробности:
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти целую часть чисел:
1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`;
2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`.
Спасибо заранее!

Докажите неравенства (`varepsilon >0`)
`int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`,
сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2015, 21:18 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4400
Откуда: Санкт-Петербург
Иваныч писал(а):
Подробности:
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти целую часть чисел:
1) `x=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`;
2) `x=1/(root(3)(4))+1/(root(3)(5))+...+1/(root(3)(1000000))`.
Спасибо заранее!

Докажите неравенства (`varepsilon >0`)
`int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`,
сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.

С неравенством что-то не так. Проверьте при N=1 или N=4,`epsilon=1/2`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2015, 21:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 сен 2011, 23:41
Сообщений: 916
Откуда: Казань
vyv2 писал(а):
Подробности:
Иваныч писал(а):
Докажите неравенства (`varepsilon >0`)
`int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`,
сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.

С неравенством что-то не так. Проверьте при N=1 или N=4,`epsilon=1/2`.

Запись `1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)` как бы исключает случай `N=1`.
А что не так с `N=4`?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 31 мар 2015, 22:07 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4400
Откуда: Санкт-Петербург
[quote="Иваныч"
`int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)<1+1/(2^varepsilon)+ cdots +1/(N^varepsilon)< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)`,
сравнивая площадь под графиком функции `1/(x^varepsilon)` с соответствующими суммами площадей прямоугольников.[/quote]
А что не так с `N=4`?[/quote]
При N=4 `3=2sqrtN-1=int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)< 1+1/sqrt2+1/sqrt3+1/2~~2.78< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)=4` - противоречие
Да, я ошибся в вычислении определенного интеграла.
При N=4 `2=2sqrtN-2=int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)< 1+1/sqrt2+1/sqrt3+1/2~~2.78< 1+int_1^N \ (dx)/(x^varepsilon)=3` - тогда противоречия нет.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 31 мар 2015, 22:50, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 01 апр 2015, 10:57 
Не в сети

Зарегистрирован: 17 дек 2010, 20:02
Сообщений: 1639
atakga писал(а):
Подскажите пожалуйста идею решения этой задачи:
Найти целую часть чисел:
1) `S=1+1/(sqrt2)+1/(sqrt3)+...+1/(sqrt1016064)`;

Оценим сумму сверху с помощью "телескопического" суммирования
`1+1/sqrt(2)+1/sqrt(3)+...1/sqrt(n)<1+2(1/(1+sqrt(2))+1/(sqrt(2)+sqrt(3))+...+1/(sqrt(n-1)+sqrt(n)))=1+2(sqrt(2)-1+sqrt(3)-sqrt(2)+...+sqrt(n)-sqrt(n-1))=1+2(sqrt(n)-1)`.
Аналогично находим оценку снизу: `2(sqrt(n+1)-1)<S`. Подстановка `n=1016064` дает `2014,009921<S<2015`. Таким образом, ответ `2014`.


Последний раз редактировалось michel 01 апр 2015, 19:51, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задачи на целую часть
 Сообщение Добавлено: 01 апр 2015, 18:26 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 дек 2013, 17:51
Сообщений: 103
Откуда: Занзибар
Очень благодарен Вам Иваныч, michel! Когда есть различные решения одной и той же задачи, это очень хорошо. Иваныч Ваше решение мне очень понравился. Решение michel также очень красиво! Спасибо всем откликнувшимся!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: