Автор |
Сообщение |
Ischo_Tatiana
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:09 |
|
Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36 Сообщений: 1119
|
leonidzilb писал(а): согласен.Решение не очень сложное.Но надо знать вектора и произведение векторов.Это университет или 12 класс.а если это не знать. Ну я не знаю, какой там это у Вас класс. У нас векторы в трёхмерном пространстве - это конец 10-го по программе. Вам нужно алгебраическое решение без скалярного произведения векторов (фактически неравенства Коши-Буняковского) и уравнения плоскости?
|
|
|
|
|
|
|
Ischo_Tatiana
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:18 |
|
Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36 Сообщений: 1119
|
Возьмите исходное равенство, возведите его в квадрат и сложите с очевидными неравенствами `x^2+y^2-2xy>=0` `x^2+z^2-2xz>=0` `y^2+z^2-2yz>=0`
|
|
|
|
|
leonidzilb
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:29 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2016, 01:09 Сообщений: 61
|
Ischo_Tatiana писал(а): leonidzilb писал(а): согласен.Решение не очень сложное.Но надо знать вектора и произведение векторов.Это университет или 12 класс.а если это не знать. Ну я не знаю, какой там это у Вас класс. У нас векторы в трёхмерном пространстве - это конец 10-го по программе. Вам нужно алгебраическое решение без скалярного произведения векторов (фактически неравенства Коши-Буняковского) и уравнения плоскости? У нас конец 12-го и то только на самом высоком уровне.У нас математику учат по уровням.Не все одинаково.
|
|
|
|
|
Ischo_Tatiana
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:34 |
|
Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36 Сообщений: 1119
|
leonidzilb писал(а): У нас математику учат по уровням.Не все одинаково. Хорошо, чем Вам не нравится мой последний вариант решения, позвольте спросить? Не все умеют возводить в квадрат трёхчлен? Так можно последовательно скобочки перемножить.
Последний раз редактировалось Ischo_Tatiana 25 ноя 2017, 23:39, всего редактировалось 1 раз.
|
|
|
|
|
leonidzilb
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:38 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2016, 01:09 Сообщений: 61
|
Ischo_Tatiana писал(а): leonidzilb писал(а): У нас математику учат по уровням.Не все одинаково. Чем Вам не нравится мой последний вариант решения, позвольте спросить? Не все умеют возводить в квадрат трёхчлен? Так можно последовательно скобочки перемножить. Это тоже вариант решение и без векторов.
|
|
|
|
|
Ischo_Tatiana
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:40 |
|
Зарегистрирован: 08 май 2013, 17:36 Сообщений: 1119
|
leonidzilb писал(а): Это тоже вариант решение и без векторов. Стесняюсь спросить - Вам нужно ещё проще?
|
|
|
|
|
leonidzilb
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:44 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2016, 01:09 Сообщений: 61
|
Ischo_Tatiana писал(а): leonidzilb писал(а): Это тоже вариант решение и без векторов. Стесняюсь спросить - Вам нужно ещё проще? ну не уверен что есть решение проще.
|
|
|
|
|
leonidzilb
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 25 ноя 2017, 23:46 |
|
Зарегистрирован: 20 дек 2016, 01:09 Сообщений: 61
|
а как вот это доказать `1/2*3/4*5/6-----*99/100<1/10`
|
|
|
|
|
nnosipov
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 26 ноя 2017, 08:18 |
|
Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11 Сообщений: 466
|
leonidzilb писал(а): а как вот это доказать `1/2*3/4*5/6-----*99/100<1/10` Например: можно заменить $1/10$ на $1/\sqrt{100}$ и затем доказывать по индукции неравенство для биномиального коэффициента $C_{2n}^n<\frac{4^n}{\sqrt{2n}}$. Правда, здесь нас ожидает небольшая засада: шаг индукции, сделанный "в лоб", не пройдет. Поэтому надо схитрить и доказывать (по-прежнему по индукции) более сильное неравенство $C_{2n}^n<\frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}$. Как ни странно, здесь с шагом индукции все будет в порядке. Впрочем (как мне сразу показалось, но лень было смотреть), про эту задачу должно было быть написано в старых советских книжках для детей. И действительно, в брошюре Бабинской "Задачи математических олимпиад" (1975) эта задача присутствует под номером 206. Формально без индукции, но фактически все равно доказывается более сильное неравенство (с заменой $1/10$ на $1/\sqrt{101}$). Upd. Исправил пару опечаток.
Последний раз редактировалось nnosipov 26 ноя 2017, 13:07, всего редактировалось 2 раз(а).
|
|
|
|
|
vyv2
|
Заголовок сообщения: Re: олимпиада тель авивского университета для школьников-2 Добавлено: 26 ноя 2017, 08:26 |
|
Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37 Сообщений: 4974 Откуда: Санкт-Петербург
|
leonidzilb писал(а): ну не уверен что есть решение проще. Не проще. `x^2+y^2+z^2-1/3=x^2+y^2+z^2-1/3(x+y+z)^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+y)-1/3(x+y+z)^2=` `=2/3(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=2/3((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz))=2/3((x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)-(xy+xz+yz))=` `=2/3((x^2+y^2+z^2)-(xy+x+zy))=1/3((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)>=0`
_________________ Сопротивление бесполезно.
|
|
|
|
|
|
|
|