Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 16 мар 2014, 17:16 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5302
Изображение


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 16 мар 2014, 21:09 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
В МИФИ были немного другие задания:
Задача 1. Найти все `x`, при каждом из которых числа `lg|sin(x+|x|)|`,`lg|sin3(x+|x|)|`,`lg|sin5(x+|x|)|` образуют арифметическую прогрессию с ненулевой разностью.
Задача 2.
Найти длину наибольшего отрезка `l`, в который не попадает ни одно решение уравнения `32sin^6x-48sin^4x+22sinx-3=0`
Задача 3.
Записать уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точки - решения системы. `{((x^3+y^3)/(x^2+y^2)=35/13), (x+y=5):}`
Задача 4.
Семья ужинает за столом в течение 2-х часов. Папа говорит каждую 4-ую и 5-ую минуты на каждом из семиминутных интервалов, Мама говорит каждую первую, вторую и третью минуты на каждом из пятиминутных интервалов, Петя говорит каждую 3-ю и 4-ю минуты в каждом девятиминутном интервале. Сколько минут родители говорили вместе, а Петя молчал?
Задача 5.

`{(x-y=a), (sinx=sin(x+3y)):}`, 1 решение в квадрате `{(-pi<=x<=0), (-pi<=y<=0):}`
Задача 6.
Дан параллелограмм ABCD, `(AM)/(MD)=1/3`, `(PD)/(PC)=1/4`, `M` лежит на `AD`, `P` лежит на `CD`, `AD` и `CD` пересекаются в точке `T`.
К прямой `BC` в точку `S` пущен бильярдный шар, далее, 4 раза отразившись от стенок, шар вновь попадает в точку `T` и повторяет свою предыдущую траекторию. Найти: `(BS)/(SC)`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 16 мар 2014, 22:03 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
Задача 2.
`32sin^6x-48sin^4x+22sin^2x-3=0
`sin^2x=t`, `0<=t<=1`
`32t^3-48t^2+22t-3=0`
Замечаем, что `t=-1/2` -корень
Тогда `(2t-1)(16t^2-16t+3)=0`, `(2t-1)(4t-3)(4t-1)=0`, `[(t=1/2), (t=3/4), (t=1/4):}`
`[(sinx=sqrt(2)/2), (sinx=-sqrt(2)/2), (sinx=sqrt(3)/2), (sinx=-sqrt(3)/2), (sinx=1/2), (sinx=-1/2):}`
На единичной окружности отображаем точки, длина наибольшего промежутка равняется `pi/3`
Ответ: `pi/3`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 16 мар 2014, 22:20 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
Задача 3.
`{((x^3+y^3)/(x^2+y^2)=35/13), (x+y=5):}`

`x+y=a, xy=b`
`{((a(a^2-3b))/(a^2-2b)=35/13), (a=5):}`, `{((5(25-3b))/(25-2b)=35/14), (a=5):}` `{(b=6), (a=5):}`
`{(xy=6), ( x+y=5):}` `{(x;y)}={(2;3)}={(3;2)}`
Радиус окружности `r=sqrt(3^2+2^2)=sqrt(13)`
Искомое уравнение `x^2+y^2=13`

Ответ:` x^2+y^2=13`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 17 мар 2014, 14:57 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5302
Файл с вариантами обновлен http://alexlarin.net/olimp/mifi0314.html


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 17 мар 2014, 18:33 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 окт 2011, 07:26
Сообщений: 2903
Arteom писал(а):
Задача 1. Найти все `x`, при каждом из которых числа `lg|sin(x+|x|)|`,`lg|sin3(x+|x|)|`,`lg|sin5(x+|x|)|` образуют арифметическую прогрессию с ненулевой разностью.


Пусть `x+|x|=t`, тогда если числа `lg|sint|`,`lg|sin3t|`,`lg|sin5t|` образуют арифметическую прогрессию, то `lg|sint|+lg|sin5t|=2lg|sin3t|`, или
`|sint*sin5t|=sin^2 3t`

1) `sint*sin5t=sin^2 3t`
`cos4t-cos6t=1-cos6t`
`cos4t=1`
`t=pi/2n`
При четных `n` данные в условии числа не определены, а при нечетных `n` данные числа равны `0`, что не удовлетворяет условию о "ненулевой разности"

2) `sint*sin5t=-sin^2 3t`
`cos4t-cos6t=cos6t-1`
`2cos6t-cos4t-1=0`
`4cos^3 2t-cos^2 2t-3cos2t=0`
`cos2t=0` или `cos2t=1` или `cos2t=-3/4`

Если `cos2t=0`, то `t=pi/4+pi/2n`, и `|sint|=sin3t|=|sin5t|=(sqrt2)/2` - члены последовательности равны, что не удовлетворяет условию.
Если `cos2t=1`. то `t=pin`. и члены последовательности не определены.
`cos2t=-3/4`
`cos^2t=1/8`
`cost=+-1/(2sqrt2)`

Заметим, что `t=x+|x|>0` при `x>0`, иначе, при `x<=0` `t=x+|x|=0`, и члены последовательности не определены.
`cos2x=arc cos(1/(2sqrt2))+2pin`
`x=1/2arc cos(1/(2sqrt2))+pin, n>=0` (`n` - целое)

`cos2x=-arc cos(1/(2sqrt2))+2pin`
`x=-1/2arc cos(1/(2sqrt2))+pin, n>=1`

Ответ: `x=1/2arc cos(1/(2sqrt2))+pin, n>=0`; `x=-1/2arc cos(1/(2sqrt2))+pin, n>=1` (эн - целое)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 18 мар 2014, 17:29 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
Задача 1, выезд
Сумма квадратов первых трех членов геометрической прогрессии равна 1701. Найти девятый член прогрессии. Все члены прогрессии - целые числа.

Пусть `b`,`bq`,`bq^2` - три первые члена прогрессии.
Тогда `b^2+b^2*q^2+b^2q^4=1701`
`b^2(1+q^2+q^4)=1701` `1701=3^5*7`
`b^2(1+q^2+q^4)=3^2*3^2*3*7`
Отметим сразу, что ни `b`, ни `q` не могут быть равными `1`, иначе прогрессия будет состоять из одних только единичек.
Случай 1.
`{(b^2=3^2), (q^4+q^2+1=3^2*3*7):}` Второе уравнение целых решений не имеет, так как
дискриминант - не полный квадрат.
Случай 2
`{(b^2=3^4), ( q^4+q^2-20=0):}`
Из первого уравнения получаем `b=+-9
Из второго уравнения получаем целые `q=+-2`
Тогда `bq^7=9*2^7` или `b*q^7=-9*2^7`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 18 мар 2014, 18:28 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
Задача 2
`3( ctg2x+tgx)+4cosx=0`
`sin2x!=0`, `2x!=pi*n, n in Z` `x !=pi*n/2`
В лоб.
`3(cos(2x)/sin(2x))+3(sinx/cosx)+4cosx=0`, после домножения на `2sinx*cosx !=0` и приведения подобных получаем ` 8sin^3x-8*sinx-3=0`
`sinx=t, |t|<=1`, `8t^3-8t-3=0` Угадываем корень ` t_{0}=-1/2`, что, кстати говоря, не так тривиально.
` -(2t+1)(4t^2-2t-3)=0 iff [(t_{1}=-1/2), (t_{2}=1/2(1-sqrt(13))), (t_{3}=1/2(1+sqrt(13))):}`
Обратная замена `sinx=-1/2`, ` [(x _{1}=-pi/6 +2pin), ( x_{2}=-5pi/6 +2pim):}`

Cумма равна `1700pi/3`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 18 мар 2014, 18:34 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 окт 2011, 07:26
Сообщений: 2903
Arteom писал(а):
Задача 5. Найти все значения параметра `a`, при котором система
`{(x-y=a), (sinx=sin(x+3y)):}`, имеет единственное решение в квадрате `{(-pi<=x<=0), (-pi<=y<=0):}`

Решим уравнение `sinx=sin(x+3y)`
`[(x+3y=x+2pin),(x+3y=pi-x+2pin):}`

`[(y=(2pi)/3n),(2x+3y=pi+2pin):}`

Найдем, какие прямые попадают в данный квадрат.
`-pi<=(2pi)/3n<=0`
`-3/2<=n<=0`
`n=-1; 0` => `y=0`, `y=-2/3pi`

`-5pi<=2x+3y<=0`
`-5pi<=pi+2pin<=0`
`-3<=n<=-1/2`
`n=-3; -2; -1` => `2x+3y=-pi`, `2x+3y=-3pi`, `2x+3y=-5pi`

Теперь задачу можно сформулировать так: при каких значениях параметра имеет единственное решение в указанном квадрате система:
`{(x-y=a),([(y=0),(y=-2/3pi),(2x+3y=-pi),(2x+3y=-3pi),(2x+3y=-5pi):}):}`

Систему решим графически
Подробности:
Вложение:
temp.jpg
temp.jpg [ 37.65 KIB | Просмотров: 3743 ]

Ответ: `[-pi; -(2pi)/3),((2pi)/3; pi]`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: МИФИ Росатом 16 марта Финальный тур
 Сообщение Добавлено: 20 мар 2014, 01:48 
Не в сети

Зарегистрирован: 15 май 2012, 21:29
Сообщений: 97
Задача 6, выезд.
Вроде как Ответ `pi*R^2/2`


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ] На страницу 1, 2  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: