Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Турнир Городов 2017-2018. Задачи
 Сообщение Добавлено: 15 окт 2017, 12:11 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 10 окт 2010, 07:08
Сообщений: 597
Откуда: Чебоксары
TРИДЦАТЬ ДЕBЯTЫЙ TУРHИР ГОРОДОВ
Осенний тур, базовый вариант, 8 октября 2017 г.
(Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)

8 – 9 классы

1 (3 балла). Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны?

2 (4 балла). Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

3 (4 балла). B ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?

4 (5 баллов). На одной из клеток поля 8 × 8 зарыт клад. Вы находитесь с металлоискателем в центре одной из угловых клеток этого поля и передвигаетесь, переходя в центры соседних по стороне клеток. Металлоискатель срабатывает, если вы оказались на той клетке, где зарыт клад, или в одной из соседних с ней по стороне клеток. Можно ли гарантированно указать клетку, где зарыт клад, пройдя расстояние не более 26?

5 (5 баллов). Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1). Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более 1/3 от её длины.

10-11 классы

1 (4 балла). Существуют ли нецелые числа `x` и `y`, для которых `{x}*{y}={x+y}`? (Здесь `{x}` – дробная часть числа `x`.)

2 (4 балла). B треугольнике АBС провели биссектрису СL. Серединный перпендикуляр к стороне АС пересекает отрезок СL в точке K. Докажите, что описанные окружности треугольников АBС и АKL касаются.

3 (4 балла). Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

4. а) (2 балла) Mожет ли некоторый шар высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3 и 4?
б) (3 балла)Тот же вопрос, если радиус шара должен быть равен 5.

5. (5 баллов) B левой нижней клетке доски `100 * 100` стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход – горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки А и B, что фишка не менее двух раз делала ход из А в B.

_________________
Господь на Своем Суде ВАКовский список учитывать не будет.


Последний раз редактировалось Мак Сим 15 окт 2017, 12:51, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Турнир Городов 2017-2018. Задачи
 Сообщение Добавлено: 15 окт 2017, 12:30 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
Мак Сим писал(а):
TРИДЦАТЬ ДЕBЯTЫЙ TУРHИР ГОРОДОВ

10-11 классы

1 (4 балла). Существуют ли нецелые числа `x` и `y`, для которых `{x}*{y}={x+y}`? (Здесь `{x}` – дробная часть числа `x`.)


_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Турнир Городов 2017-2018. Задачи
 Сообщение Добавлено: 15 окт 2017, 13:22 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
vyv2 писал(а):
Мак Сим писал(а):
TРИДЦАТЬ ДЕBЯTЫЙ TУРHИР ГОРОДОВ

10-11 классы

1 (4 балла). Существуют ли нецелые числа `x` и `y`, для которых `{x}*{y}={x+y}`? (Здесь `{x}` – дробная часть числа `x`.)



Может `{xy}={x+y}`? Иначе как-то неинтересно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Турнир Городов 2017-2018. Задачи
 Сообщение Добавлено: 10 ноя 2018, 11:31 
Не в сети

Зарегистрирован: 10 ноя 2018, 11:26
Сообщений: 1
Мак Сим писал(а):
TРИДЦАТЬ ДЕBЯTЫЙ TУРHИР ГОРОДОВ
Осенний тур, базовый вариант, 8 октября 2017 г.
(Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)

8 – 9 классы

2 (4 балла). Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?


Либо вторая задача чересчур простая, либо я чего-то не понимаю.
Возьмём, например, число, на 100 меньшее факториала числа 100. Оно, вместе с 98-ю следующими за ним целыми числами, удовлетворяет условию задачи.

Что я упустила?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Турнир Городов 2017-2018. Задачи
 Сообщение Добавлено: 12 ноя 2018, 20:54 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 фев 2012, 19:11
Сообщений: 466
alex123 писал(а):
vyv2 писал(а):
Мак Сим писал(а):
TРИДЦАТЬ ДЕBЯTЫЙ TУРHИР ГОРОДОВ

10-11 классы

1 (4 балла). Существуют ли нецелые числа `x` и `y`, для которых `{x}*{y}={x+y}`? (Здесь `{x}` – дробная часть числа `x`.)



Может `{xy}={x+y}`? Иначе как-то неинтересно.

Да тоже банально: будем искать так, чтобы $xy=x+y$ и, очевидно, найдем.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: